ដោះស្រាយ {l}{3x+2y=m+3}{2x-y=2m-1text{gy}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = m + 3 } \\ { 2 x - y = 2 m - 1 \text { gy } } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{gm-5m+3g-3}{7-3g}\text{, }y=-\frac{2\left(2m-3\right)}{7-3g}\text{, }&g\neq \frac{7}{3}\\x=\frac{9-4y}{6}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&g=\frac{7}{3}\text{ and }m=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ បន្ថែម gy ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$2x-y+gy=2m$$

បន្សំតួទាំងអស់ដែលមាន x,y។

$$2x+\left(-1+g\right)y=2m$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+2y=m+3,2x+\left(g-1\right)y=2m$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$3x+2y=m+3$$

ដក 2y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=-2y+m+3$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+m+3\right)$$

គុណ \frac{1}{3} ដង -2y+m+3។

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{m}{3}+1$$

ជំនួស -\frac{2y}{3}+\frac{m}{3}+1 សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 2x+\left(g-1\right)y=2m។

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{m}{3}+1\right)+\left(g-1\right)y=2m$$

គុណ 2 ដង -\frac{2y}{3}+\frac{m}{3}+1។

$$-\frac{4}{3}y+\frac{2m}{3}+2+\left(g-1\right)y=2m$$

បូក -\frac{4y}{3} ជាមួយ \left(g-1\right)y។

$$\left(g-\frac{7}{3}\right)y+\frac{2m}{3}+2=2m$$

ដក 2+\frac{2m}{3} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\left(g-\frac{7}{3}\right)y=\frac{4m}{3}-2$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -\frac{7}{3}+g។

$$y=\frac{2\left(2m-3\right)}{3g-7}$$

ជំនួស \frac{2\left(-3+2m\right)}{-7+3g} សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{2}{3}y+\frac{m}{3}+1។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{2\left(2m-3\right)}{3g-7}+\frac{m}{3}+1$$

គុណ -\frac{2}{3} ដង \frac{2\left(-3+2m\right)}{-7+3g}។

$$x=-\frac{4\left(2m-3\right)}{3\left(3g-7\right)}+\frac{m}{3}+1$$

បូក \frac{m}{3}+1 ជាមួយ -\frac{4\left(-3+2m\right)}{3\left(-7+3g\right)}។

$$x=\frac{gm-5m+3g-3}{3g-7}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{gm-5m+3g-3}{3g-7},y=\frac{2\left(2m-3\right)}{3g-7}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ បន្ថែម gy ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$2x-y+gy=2m$$

បន្សំតួទាំងអស់ដែលមាន x,y។

$$2x+\left(-1+g\right)y=2m$$

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$3x+2y=m+3,2x+\left(g-1\right)y=2m$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&g-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+3\\2m\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}3&2\\2&g-1\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&g-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&g-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&g-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m+3\\2m\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&g-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m+3\\2m\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&g-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m+3\\2m\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{g-1}{3\left(g-1\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(g-1\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(g-1\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(g-1\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m+3\\2m\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{g-1}{3g-7}&-\frac{2}{3g-7}\\-\frac{2}{3g-7}&\frac{3}{3g-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m+3\\2m\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{g-1}{3g-7}\left(m+3\right)+\left(-\frac{2}{3g-7}\right)\times 2m\\\left(-\frac{2}{3g-7}\right)\left(m+3\right)+\frac{3}{3g-7}\times 2m\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{gm-5m+3g-3}{3g-7}\\\frac{2\left(2m-3\right)}{3g-7}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=\frac{gm-5m+3g-3}{3g-7},y=\frac{2\left(2m-3\right)}{3g-7}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ បន្ថែម gy ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$2x-y+gy=2m$$

បន្សំតួទាំងអស់ដែលមាន x,y។

$$2x+\left(-1+g\right)y=2m$$

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+2y=m+3,2x+\left(g-1\right)y=2m$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 3x និង 2x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 2 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 3។

$$2\times 3x+2\times 2y=2\left(m+3\right),3\times 2x+3\left(g-1\right)y=3\times 2m$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$6x+4y=2m+6,6x+\left(3g-3\right)y=6m$$

ដក 6x+\left(3g-3\right)y=6m ពី 6x+4y=2m+6 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$6x-6x+4y+\left(3-3g\right)y=2m+6-6m$$

បូក 6x ជាមួយ -6x។ ការលុបតួ 6x និង -6x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$4y+\left(3-3g\right)y=2m+6-6m$$

បូក 4y ជាមួយ 3y-3yg។

$$\left(7-3g\right)y=2m+6-6m$$

បូក 2m+6 ជាមួយ -6m។

$$\left(7-3g\right)y=6-4m$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 7-3g។

$$y=\frac{2\left(3-2m\right)}{7-3g}$$

ជំនួស \frac{2\left(-2m+3\right)}{7-3g} សម្រាប់ y ក្នុង 2x+\left(g-1\right)y=2m។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$2x+\left(g-1\right)\times \frac{2\left(3-2m\right)}{7-3g}=2m$$

គុណ g-1 ដង \frac{2\left(-2m+3\right)}{7-3g}។

$$2x+\frac{2\left(3-2m\right)\left(g-1\right)}{7-3g}=2m$$

ដក \frac{2\left(g-1\right)\left(-2m+3\right)}{7-3g} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$2x=\frac{2\left(3-3g+5m-gm\right)}{7-3g}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 2។

$$x=\frac{3-3g+5m-gm}{7-3g}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{3-3g+5m-gm}{7-3g},y=\frac{2\left(3-2m\right)}{7-3g}$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{gm-5m+3g-3}{7-3g}\text{, }y=-\frac{2\left(2m-3\right)}{7-3g}\text{, }&g\neq \frac{7}{3}\\x=\frac{9-4y}{6}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&g=\frac{7}{3}\text{ and }m=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ បន្ថែម gy ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$2x-y+gy=2m$$

បន្សំតួទាំងអស់ដែលមាន x,y។

$$2x+\left(-1+g\right)y=2m$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+2y=m+3,2x+\left(g-1\right)y=2m$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$3x+2y=m+3$$

ដក 2y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=-2y+m+3$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+m+3\right)$$

គុណ \frac{1}{3} ដង -2y+m+3។

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{m}{3}+1$$

ជំនួស -\frac{2y}{3}+\frac{m}{3}+1 សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 2x+\left(g-1\right)y=2m។

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{m}{3}+1\right)+\left(g-1\right)y=2m$$

គុណ 2 ដង -\frac{2y}{3}+\frac{m}{3}+1។

$$-\frac{4}{3}y+\frac{2m}{3}+2+\left(g-1\right)y=2m$$

បូក -\frac{4y}{3} ជាមួយ \left(g-1\right)y។

$$\left(g-\frac{7}{3}\right)y+\frac{2m}{3}+2=2m$$

ដក 2+\frac{2m}{3} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\left(g-\frac{7}{3}\right)y=\frac{4m}{3}-2$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -\frac{7}{3}+g។

$$y=\frac{2\left(2m-3\right)}{3g-7}$$

ជំនួស \frac{2\left(-3+2m\right)}{-7+3g} សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{2}{3}y+\frac{m}{3}+1។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{2\left(2m-3\right)}{3g-7}+\frac{m}{3}+1$$

គុណ -\frac{2}{3} ដង \frac{2\left(-3+2m\right)}{-7+3g}។

$$x=-\frac{4\left(2m-3\right)}{3\left(3g-7\right)}+\frac{m}{3}+1$$

បូក \frac{m}{3}+1 ជាមួយ -\frac{4\left(-3+2m\right)}{3\left(-7+3g\right)}។

$$x=\frac{gm-5m+3g-3}{3g-7}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{gm-5m+3g-3}{3g-7},y=\frac{2\left(2m-3\right)}{3g-7}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ បន្ថែម gy ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$2x-y+gy=2m$$

បន្សំតួទាំងអស់ដែលមាន x,y។

$$2x+\left(-1+g\right)y=2m$$

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$3x+2y=m+3,2x+\left(g-1\right)y=2m$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&g-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+3\\2m\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}3&2\\2&g-1\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&g-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&g-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&g-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m+3\\2m\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&g-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m+3\\2m\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&g-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m+3\\2m\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{g-1}{3\left(g-1\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(g-1\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(g-1\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(g-1\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m+3\\2m\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{g-1}{3g-7}&-\frac{2}{3g-7}\\-\frac{2}{3g-7}&\frac{3}{3g-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m+3\\2m\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{g-1}{3g-7}\left(m+3\right)+\left(-\frac{2}{3g-7}\right)\times 2m\\\left(-\frac{2}{3g-7}\right)\left(m+3\right)+\frac{3}{3g-7}\times 2m\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{gm-5m+3g-3}{3g-7}\\\frac{2\left(2m-3\right)}{3g-7}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=\frac{gm-5m+3g-3}{3g-7},y=\frac{2\left(2m-3\right)}{3g-7}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ បន្ថែម gy ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$2x-y+gy=2m$$

បន្សំតួទាំងអស់ដែលមាន x,y។

$$2x+\left(-1+g\right)y=2m$$

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+2y=m+3,2x+\left(g-1\right)y=2m$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 3x និង 2x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 2 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 3។

$$2\times 3x+2\times 2y=2\left(m+3\right),3\times 2x+3\left(g-1\right)y=3\times 2m$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$6x+4y=2m+6,6x+\left(3g-3\right)y=6m$$

ដក 6x+\left(3g-3\right)y=6m ពី 6x+4y=2m+6 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$6x-6x+4y+\left(3-3g\right)y=2m+6-6m$$

បូក 6x ជាមួយ -6x។ ការលុបតួ 6x និង -6x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$4y+\left(3-3g\right)y=2m+6-6m$$

បូក 4y ជាមួយ 3y-3yg។

$$\left(7-3g\right)y=2m+6-6m$$

បូក 2m+6 ជាមួយ -6m។

$$\left(7-3g\right)y=6-4m$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 7-3g។

$$y=\frac{2\left(3-2m\right)}{7-3g}$$

ជំនួស \frac{2\left(-2m+3\right)}{7-3g} សម្រាប់ y ក្នុង 2x+\left(g-1\right)y=2m។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$2x+\left(g-1\right)\times \frac{2\left(3-2m\right)}{7-3g}=2m$$

គុណ g-1 ដង \frac{2\left(-2m+3\right)}{7-3g}។

$$2x+\frac{2\left(3-2m\right)\left(g-1\right)}{7-3g}=2m$$

ដក \frac{2\left(g-1\right)\left(-2m+3\right)}{7-3g} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$2x=\frac{2\left(3-3g+5m-gm\right)}{7-3g}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 2។

$$x=\frac{3-3g+5m-gm}{7-3g}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{3-3g+5m-gm}{7-3g},y=\frac{2\left(3-2m\right)}{7-3g}$$