ដោះស្រាយ {l}{3x+2y=7}{4x-3y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 4 x - 3 y = - 2 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+2y=7,4x-3y=-2$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$3x+2y=7$$

ដក 2y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=-2y+7$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

គុណ \frac{1}{3} ដង -2y+7។

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

ជំនួស \frac{-2y+7}{3} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 4x-3y=-2។

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)-3y=-2$$

គុណ 4 ដង \frac{-2y+7}{3}។

$$-\frac{8}{3}y+\frac{28}{3}-3y=-2$$

បូក -\frac{8y}{3} ជាមួយ -3y។

$$-\frac{17}{3}y+\frac{28}{3}=-2$$

ដក \frac{28}{3} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{17}{3}y=-\frac{34}{3}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{17}{3} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=2$$

ជំនួស 2 សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{7}{3}$$

គុណ -\frac{2}{3} ដង 2។

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

បូក \frac{7}{3} ជាមួយ -\frac{4}{3} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=1$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=1,y=2$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$3x+2y=7,4x-3y=-2$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 4}&-\frac{2}{3\left(-3\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-2\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{4}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 7+\frac{2}{17}\left(-2\right)\\\frac{4}{17}\times 7-\frac{3}{17}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=1,y=2$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+2y=7,4x-3y=-2$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 3x និង 4x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 4 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 3។

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 7,3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\left(-2\right)$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$12x+8y=28,12x-9y=-6$$

ដក 12x-9y=-6 ពី 12x+8y=28 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$12x-12x+8y+9y=28+6$$

បូក 12x ជាមួយ -12x។ ការលុបតួ 12x និង -12x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$8y+9y=28+6$$

បូក 8y ជាមួយ 9y។

$$17y=28+6$$

បូក 28 ជាមួយ 6។

$$17y=34$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 17។

$$y=2$$

ជំនួស 2 សម្រាប់ y ក្នុង 4x-3y=-2។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$4x-3\times 2=-2$$

គុណ -3 ដង 2។

$$4x-6=-2$$

បូក 6 ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$4x=4$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 4។

$$x=1$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=1,y=2$$