ដោះស្រាយ {l}{3x+2y=23}{5x+6y=59}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 23 } \\ { 5 x + 6 y = 59 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y = \frac{31}{4} = 7\frac{3}{4} = 7.75$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+2y=23,5x+6y=59$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$3x+2y=23$$

ដក 2y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=-2y+23$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+23\right)$$

គុណ \frac{1}{3} ដង -2y+23។

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{23}{3}$$

ជំនួស \frac{-2y+23}{3} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 5x+6y=59។

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{23}{3}\right)+6y=59$$

គុណ 5 ដង \frac{-2y+23}{3}។

$$-\frac{10}{3}y+\frac{115}{3}+6y=59$$

បូក -\frac{10y}{3} ជាមួយ 6y។

$$\frac{8}{3}y+\frac{115}{3}=59$$

ដក \frac{115}{3} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{8}{3}y=\frac{62}{3}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{8}{3} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=\frac{31}{4}$$

ជំនួស \frac{31}{4} សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{2}{3}y+\frac{23}{3}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{31}{4}+\frac{23}{3}$$

គុណ -\frac{2}{3} ដង \frac{31}{4} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$x=-\frac{31}{6}+\frac{23}{3}$$

បូក \frac{23}{3} ជាមួយ -\frac{31}{6} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=\frac{5}{2}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{31}{4}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$3x+2y=23,5x+6y=59$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\59\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\59\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\59\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\59\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 5}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 5}\\-\frac{5}{3\times 6-2\times 5}&\frac{3}{3\times 6-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\59\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\59\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 23-\frac{1}{4}\times 59\\-\frac{5}{8}\times 23+\frac{3}{8}\times 59\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{31}{4}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{31}{4}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+2y=23,5x+6y=59$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 3x និង 5x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 5 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 3។

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 23,3\times 5x+3\times 6y=3\times 59$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$15x+10y=115,15x+18y=177$$

ដក 15x+18y=177 ពី 15x+10y=115 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$15x-15x+10y-18y=115-177$$

បូក 15x ជាមួយ -15x។ ការលុបតួ 15x និង -15x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$10y-18y=115-177$$

បូក 10y ជាមួយ -18y។

$$-8y=115-177$$

បូក 115 ជាមួយ -177។

$$-8y=-62$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -8។

$$y=\frac{31}{4}$$

ជំនួស \frac{31}{4} សម្រាប់ y ក្នុង 5x+6y=59។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$5x+6\times \frac{31}{4}=59$$

គុណ 6 ដង \frac{31}{4}។

$$5x+\frac{93}{2}=59$$

ដក \frac{93}{2} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$5x=\frac{25}{2}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 5។

$$x=\frac{5}{2}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{31}{4}$$