ដោះស្រាយ {l}{3x+2y=16k}{5x-4y=-10k}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 16 k } \\ { 5 x - 4 y = - 10 k } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=2k$$

$$y=5k$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$3x+2y=16k$$

ដក 2y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=-2y+16k$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+16k\right)$$

គុណ \frac{1}{3} ដង -2y+16k។

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}$$

ជំនួស \frac{-2y+16k}{3} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 5x-4y=-10k។

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}\right)-4y=-10k$$

គុណ 5 ដង \frac{-2y+16k}{3}។

$$-\frac{10}{3}y+\frac{80k}{3}-4y=-10k$$

បូក -\frac{10y}{3} ជាមួយ -4y។

$$-\frac{22}{3}y+\frac{80k}{3}=-10k$$

ដក \frac{80k}{3} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{110k}{3}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{22}{3} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=5k$$

ជំនួស 5k សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{2}{3}\times 5k+\frac{16k}{3}$$

គុណ -\frac{2}{3} ដង 5k។

$$x=\frac{-10k+16k}{3}$$

បូក \frac{16k}{3} ជាមួយ -\frac{10k}{3}។

$$x=2k$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=2k,y=5k$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 16k+\frac{1}{11}\left(-10k\right)\\\frac{5}{22}\times 16k-\frac{3}{22}\left(-10k\right)\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k\\5k\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=2k,y=5k$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 3x និង 5x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 5 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 3។

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 16k,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\left(-10k\right)$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$15x+10y=80k,15x-12y=-30k$$

ដក 15x-12y=-30k ពី 15x+10y=80k ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$15x-15x+10y+12y=80k+30k$$

បូក 15x ជាមួយ -15x។ ការលុបតួ 15x និង -15x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$10y+12y=80k+30k$$

បូក 10y ជាមួយ 12y។

$$22y=80k+30k$$

បូក 80k ជាមួយ 30k។

$$22y=110k$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 22។

$$y=5k$$

ជំនួស 5k សម្រាប់ y ក្នុង 5x-4y=-10k។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$5x-4\times 5k=-10k$$

គុណ -4 ដង 5k។

$$5x-20k=-10k$$

បូក 20k ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$5x=10k$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 5។

$$x=2k$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=2k,y=5k$$