ដោះស្រាយ {l}{3(x-1)=2(y-1)}{4(y-1)=3(x+5)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = 2 ( y - 1 ) } \\ { 4 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=7$$

$$y=10$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 3 នឹង x-1។

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 2 នឹង y-1។

$$3x-3=2y-2$$

ដក 2y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x-3-2y=-2$$

បន្ថែម 3 ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x-2y=-2+3$$

បូក -2 និង 3 ដើម្បីបាន 1។

$$3x-2y=1$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 4 នឹង y-1។

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 3 នឹង x+5។

$$4y-4=3x+15$$

ដក 3x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$4y-4-3x=15$$

បន្ថែម 4 ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$4y-3x=15+4$$

បូក 15 និង 4 ដើម្បីបាន 19។

$$4y-3x=19$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$3x-2y=1$$

បូក 2y ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=2y+1$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

គុណ \frac{1}{3} ដង 2y+1។

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

ជំនួស \frac{2y+1}{3} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត -3x+4y=19។

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=19$$

គុណ -3 ដង \frac{2y+1}{3}។

$$-2y-1+4y=19$$

បូក -2y ជាមួយ 4y។

$$2y-1=19$$

បូក 1 ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$2y=20$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 2។

$$y=10$$

ជំនួស 10 សម្រាប់ y ក្នុង x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{1}{3}$$

គុណ \frac{2}{3} ដង 10។

$$x=\frac{20+1}{3}$$

បូក \frac{1}{3} ជាមួយ \frac{20}{3} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=7$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=7,y=10$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 3 នឹង x-1។

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 2 នឹង y-1។

$$3x-3=2y-2$$

ដក 2y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x-3-2y=-2$$

បន្ថែម 3 ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x-2y=-2+3$$

បូក -2 និង 3 ដើម្បីបាន 1។

$$3x-2y=1$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 4 នឹង y-1។

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 3 នឹង x+5។

$$4y-4=3x+15$$

ដក 3x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$4y-4-3x=15$$

បន្ថែម 4 ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$4y-3x=15+4$$

បូក 15 និង 4 ដើម្បីបាន 19។

$$4y-3x=19$$

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 19\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=7,y=10$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 3 នឹង x-1។

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 2 នឹង y-1។

$$3x-3=2y-2$$

ដក 2y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x-3-2y=-2$$

បន្ថែម 3 ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x-2y=-2+3$$

បូក -2 និង 3 ដើម្បីបាន 1។

$$3x-2y=1$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 4 នឹង y-1។

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 3 នឹង x+5។

$$4y-4=3x+15$$

ដក 3x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$4y-4-3x=15$$

បន្ថែម 4 ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$4y-3x=15+4$$

បូក 15 និង 4 ដើម្បីបាន 19។

$$4y-3x=19$$

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 3x និង -3x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ -3 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 3។

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 19$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$-9x+6y=-3,-9x+12y=57$$

ដក -9x+12y=57 ពី -9x+6y=-3 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$-9x+9x+6y-12y=-3-57$$

បូក -9x ជាមួយ 9x។ ការលុបតួ -9x និង 9x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$6y-12y=-3-57$$

បូក 6y ជាមួយ -12y។

$$-6y=-3-57$$

បូក -3 ជាមួយ -57។

$$-6y=-60$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -6។

$$y=10$$

ជំនួស 10 សម្រាប់ y ក្នុង -3x+4y=19។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$-3x+4\times 10=19$$

គុណ 4 ដង 10។

$$-3x+40=19$$

ដក 40 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-3x=-21$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -3។

$$x=7$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=7,y=10$$