ដោះស្រាយ {l}{3(x+y)=5x-y+2}{2(x-y)=3x+y-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) = 5 x - y + 2 } \\ { 2 ( x - y ) = 3 x + y - 4 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 3 នឹង x+y។

$$3x+3y=5x-y+2$$

ដក 5x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x+3y-5x=-y+2$$

បន្សំ 3x និង -5x ដើម្បីបាន -2x។

$$-2x+3y=-y+2$$

បន្ថែម y ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$-2x+3y+y=2$$

បន្សំ 3y និង y ដើម្បីបាន 4y។

$$-2x+4y=2$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 2 នឹង x-y។

$$2x-2y=3x+y-4$$

ដក 3x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$2x-2y-3x=y-4$$

បន្សំ 2x និង -3x ដើម្បីបាន -x។

$$-x-2y=y-4$$

ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$-x-2y-y=-4$$

បន្សំ -2y និង -y ដើម្បីបាន -3y។

$$-x-3y=-4$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$-2x+4y=2$$

ដក 4y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-2x=-4y+2$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -2។

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y+2\right)$$

គុណ -\frac{1}{2} ដង -4y+2។

$$x=2y-1$$

ជំនួស 2y-1 សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត -x-3y=-4។

$$-\left(2y-1\right)-3y=-4$$

គុណ -1 ដង 2y-1។

$$-2y+1-3y=-4$$

បូក -2y ជាមួយ -3y។

$$-5y+1=-4$$

ដក 1 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-5y=-5$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -5។

$$y=1$$

ជំនួស 1 សម្រាប់ y ក្នុង x=2y-1។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=2-1$$

បូក -1 ជាមួយ 2។

$$x=1$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=1,y=1$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 3 នឹង x+y។

$$3x+3y=5x-y+2$$

ដក 5x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x+3y-5x=-y+2$$

បន្សំ 3x និង -5x ដើម្បីបាន -2x។

$$-2x+3y=-y+2$$

បន្ថែម y ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$-2x+3y+y=2$$

បន្សំ 3y និង y ដើម្បីបាន 4y។

$$-2x+4y=2$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 2 នឹង x-y។

$$2x-2y=3x+y-4$$

ដក 3x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$2x-2y-3x=y-4$$

បន្សំ 2x និង -3x ដើម្បីបាន -x។

$$-x-2y=y-4$$

ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$-x-2y-y=-4$$

បន្សំ -2y និង -y ដើម្បីបាន -3y។

$$-x-3y=-4$$

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\times 2-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\times 2-\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=1,y=1$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 3 នឹង x+y។

$$3x+3y=5x-y+2$$

ដក 5x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x+3y-5x=-y+2$$

បន្សំ 3x និង -5x ដើម្បីបាន -2x។

$$-2x+3y=-y+2$$

បន្ថែម y ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$-2x+3y+y=2$$

បន្សំ 3y និង y ដើម្បីបាន 4y។

$$-2x+4y=2$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 2 នឹង x-y។

$$2x-2y=3x+y-4$$

ដក 3x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$2x-2y-3x=y-4$$

បន្សំ 2x និង -3x ដើម្បីបាន -x។

$$-x-2y=y-4$$

ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$-x-2y-y=-4$$

បន្សំ -2y និង -y ដើម្បីបាន -3y។

$$-x-3y=-4$$

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ -2x និង -x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ -1 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ -2។

$$-\left(-2\right)x-4y=-2,-2\left(-1\right)x-2\left(-3\right)y=-2\left(-4\right)$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$2x-4y=-2,2x+6y=8$$

ដក 2x+6y=8 ពី 2x-4y=-2 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$2x-2x-4y-6y=-2-8$$

បូក 2x ជាមួយ -2x។ ការលុបតួ 2x និង -2x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$-4y-6y=-2-8$$

បូក -4y ជាមួយ -6y។

$$-10y=-2-8$$

បូក -2 ជាមួយ -8។

$$-10y=-10$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -10។

$$y=1$$

ជំនួស 1 សម្រាប់ y ក្នុង -x-3y=-4។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$-x-3=-4$$

បូក 3 ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-x=-1$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -1។

$$x=1$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=1,y=1$$