ដោះស្រាយ {l}{25x+110y=6100}{x+y=50}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x = -\frac{120}{17} = -7\frac{1}{17} \approx -7.058823529$$

$$y = \frac{970}{17} = 57\frac{1}{17} \approx 57.058823529$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$25x+110y=6100$$

ដក 110y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$25x=-110y+6100$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 25។

$$x=\frac{1}{25}\left(-110y+6100\right)$$

គុណ \frac{1}{25} ដង -110y+6100។

$$x=-\frac{22}{5}y+244$$

ជំនួស -\frac{22y}{5}+244 សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត x+y=50។

$$-\frac{22}{5}y+244+y=50$$

បូក -\frac{22y}{5} ជាមួយ y។

$$-\frac{17}{5}y+244=50$$

ដក 244 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{17}{5}y=-194$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{17}{5} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=\frac{970}{17}$$

ជំនួស \frac{970}{17} សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{22}{5}y+244។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{22}{5}\times \frac{970}{17}+244$$

គុណ -\frac{22}{5} ដង \frac{970}{17} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$x=-\frac{4268}{17}+244$$

បូក 244 ជាមួយ -\frac{4268}{17}។

$$x=-\frac{120}{17}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-110}&-\frac{110}{25-110}\\-\frac{1}{25-110}&\frac{25}{25-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}&\frac{22}{17}\\\frac{1}{85}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}\times 6100+\frac{22}{17}\times 50\\\frac{1}{85}\times 6100-\frac{5}{17}\times 50\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{120}{17}\\\frac{970}{17}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 25x និង x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 1 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 25។

$$25x+110y=6100,25x+25y=25\times 50$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$25x+110y=6100,25x+25y=1250$$

ដក 25x+25y=1250 ពី 25x+110y=6100 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$25x-25x+110y-25y=6100-1250$$

បូក 25x ជាមួយ -25x។ ការលុបតួ 25x និង -25x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$110y-25y=6100-1250$$

បូក 110y ជាមួយ -25y។

$$85y=6100-1250$$

បូក 6100 ជាមួយ -1250។

$$85y=4850$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 85។

$$y=\frac{970}{17}$$

ជំនួស \frac{970}{17} សម្រាប់ y ក្នុង x+y=50។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x+\frac{970}{17}=50$$

ដក \frac{970}{17} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$x=-\frac{120}{17}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$