ដោះស្រាយ {l}{20+x+y=115}{11x=8y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=40$$

$$y=55$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក 20 ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$x+y=115-20$$

ដក​ 20 ពី 115 ដើម្បីបាន 95។

$$x+y=95$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 8y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$11x-8y=0$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$x+y=95,11x-8y=0$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$x+y=95$$

ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$x=-y+95$$

ជំនួស -y+95 សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 11x-8y=0។

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

គុណ 11 ដង -y+95។

$$-11y+1045-8y=0$$

បូក -11y ជាមួយ -8y។

$$-19y+1045=0$$

ដក 1045 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-19y=-1045$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -19។

$$y=55$$

ជំនួស 55 សម្រាប់ y ក្នុង x=-y+95។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-55+95$$

បូក 95 ជាមួយ -55។

$$x=40$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=40,y=55$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក 20 ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$x+y=115-20$$

ដក​ 20 ពី 115 ដើម្បីបាន 95។

$$x+y=95$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 8y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$11x-8y=0$$

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$x+y=95,11x-8y=0$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=40,y=55$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក 20 ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$x+y=115-20$$

ដក​ 20 ពី 115 ដើម្បីបាន 95។

$$x+y=95$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 8y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$11x-8y=0$$

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$x+y=95,11x-8y=0$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ x និង 11x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 11 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 1។

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

ដក 11x-8y=0 ពី 11x+11y=1045 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

បូក 11x ជាមួយ -11x។ ការលុបតួ 11x និង -11x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$11y+8y=1045$$

បូក 11y ជាមួយ 8y។

$$19y=1045$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 19។

$$y=55$$

ជំនួស 55 សម្រាប់ y ក្នុង 11x-8y=0។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$11x-8\times 55=0$$

គុណ -8 ដង 55។

$$11x-440=0$$

បូក 440 ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$11x=440$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 11។

$$x=40$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=40,y=55$$