ដោះស្រាយ {l}{2x+2y=10}{1/2x+3/4y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 10 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 3 } { 4 } y = 20 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=-65$$

$$y=70$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$2x+2y=10$$

ដក 2y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$2x=-2y+10$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 2។

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+10\right)$$

គុណ \frac{1}{2} ដង -2y+10។

$$x=-y+5$$

ជំនួស -y+5 សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20។

$$\frac{1}{2}\left(-y+5\right)+\frac{3}{4}y=20$$

គុណ \frac{1}{2} ដង -y+5។

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}+\frac{3}{4}y=20$$

បូក -\frac{y}{2} ជាមួយ \frac{3y}{4}។

$$\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}=20$$

ដក \frac{5}{2} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{1}{4}y=\frac{35}{2}$$

គុណជ្រុងទាំងពីរនឹង 4។

$$y=70$$

ជំនួស 70 សម្រាប់ y ក្នុង x=-y+5។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-70+5$$

បូក 5 ជាមួយ -70។

$$x=-65$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-65,y=70$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{3}{4}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&-\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-4\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 10-4\times 20\\-10+4\times 20\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\70\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=-65,y=70$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 2x និង \frac{x}{2} ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ \frac{1}{2} និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 2។

$$\frac{1}{2}\times 2x+\frac{1}{2}\times 2y=\frac{1}{2}\times 10,2\times \frac{1}{2}x+2\times \frac{3}{4}y=2\times 20$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$x+y=5,x+\frac{3}{2}y=40$$

ដក x+\frac{3}{2}y=40 ពី x+y=5 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$x-x+y-\frac{3}{2}y=5-40$$

បូក x ជាមួយ -x។ ការលុបតួ x និង -x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$y-\frac{3}{2}y=5-40$$

បូក y ជាមួយ -\frac{3y}{2}។

$$-\frac{1}{2}y=5-40$$

បូក 5 ជាមួយ -40។

$$-\frac{1}{2}y=-35$$

គុណជ្រុងទាំងពីរនឹង -2។

$$y=70$$

ជំនួស 70 សម្រាប់ y ក្នុង \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\times 70=20$$

គុណ \frac{3}{4} ដង 70។

$$\frac{1}{2}x+\frac{105}{2}=20$$

ដក \frac{105}{2} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{1}{2}x=-\frac{65}{2}$$

គុណជ្រុងទាំងពីរនឹង 2។

$$x=-65$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-65,y=70$$