ដោះស្រាយ {l}{2(x+y)-3(x-y)=4}{5(x+y)-7(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 4 } \\ { 5 ( x + y ) - 7 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=-19$$

$$y=-3$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 2 នឹង x+y។

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ -3 នឹង x-y។

$$2x+2y-3x+3y=4$$

បន្សំ 2x និង -3x ដើម្បីបាន -x។

$$-x+2y+3y=4$$

បន្សំ 2y និង 3y ដើម្បីបាន 5y។

$$-x+5y=4$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 5 នឹង x+y។

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ -7 នឹង x-y។

$$5x+5y-7x+7y=2$$

បន្សំ 5x និង -7x ដើម្បីបាន -2x។

$$-2x+5y+7y=2$$

បន្សំ 5y និង 7y ដើម្បីបាន 12y។

$$-2x+12y=2$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$-x+5y=4$$

ដក 5y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-x=-5y+4$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -1។

$$x=-\left(-5y+4\right)$$

គុណ -1 ដង -5y+4។

$$x=5y-4$$

ជំនួស 5y-4 សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត -2x+12y=2។

$$-2\left(5y-4\right)+12y=2$$

គុណ -2 ដង 5y-4។

$$-10y+8+12y=2$$

បូក -10y ជាមួយ 12y។

$$2y+8=2$$

ដក 8 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$2y=-6$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 2។

$$y=-3$$

ជំនួស -3 សម្រាប់ y ក្នុង x=5y-4។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=5\left(-3\right)-4$$

គុណ 5 ដង -3។

$$x=-15-4$$

បូក -4 ជាមួយ -15។

$$x=-19$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-19,y=-3$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 2 នឹង x+y។

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ -3 នឹង x-y។

$$2x+2y-3x+3y=4$$

បន្សំ 2x និង -3x ដើម្បីបាន -x។

$$-x+2y+3y=4$$

បន្សំ 2y និង 3y ដើម្បីបាន 5y។

$$-x+5y=4$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 5 នឹង x+y។

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ -7 នឹង x-y។

$$5x+5y-7x+7y=2$$

បន្សំ 5x និង -7x ដើម្បីបាន -2x។

$$-2x+5y+7y=2$$

បន្សំ 5y និង 7y ដើម្បីបាន 12y។

$$-2x+12y=2$$

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-12-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-12-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6&\frac{5}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\times 4+\frac{5}{2}\times 2\\-4+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\-3\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=-19,y=-3$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 2 នឹង x+y។

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ -3 នឹង x-y។

$$2x+2y-3x+3y=4$$

បន្សំ 2x និង -3x ដើម្បីបាន -x។

$$-x+2y+3y=4$$

បន្សំ 2y និង 3y ដើម្បីបាន 5y។

$$-x+5y=4$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 5 នឹង x+y។

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ -7 នឹង x-y។

$$5x+5y-7x+7y=2$$

បន្សំ 5x និង -7x ដើម្បីបាន -2x។

$$-2x+5y+7y=2$$

បន្សំ 5y និង 7y ដើម្បីបាន 12y។

$$-2x+12y=2$$

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ -x និង -2x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ -2 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ -1។

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2\times 4,-\left(-2\right)x-12y=-2$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$2x-10y=-8,2x-12y=-2$$

ដក 2x-12y=-2 ពី 2x-10y=-8 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$2x-2x-10y+12y=-8+2$$

បូក 2x ជាមួយ -2x។ ការលុបតួ 2x និង -2x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$-10y+12y=-8+2$$

បូក -10y ជាមួយ 12y។

$$2y=-8+2$$

បូក -8 ជាមួយ 2។

$$2y=-6$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 2។

$$y=-3$$

ជំនួស -3 សម្រាប់ y ក្នុង -2x+12y=2។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$-2x+12\left(-3\right)=2$$

គុណ 12 ដង -3។

$$-2x-36=2$$

បូក 36 ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-2x=38$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -2។

$$x=-19$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-19,y=-3$$