ដោះស្រាយ {l}{11x+19y=25}{19x+11y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$11x+19y=25$$

ដក 19y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$11x=-19y+25$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 11។

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

គុណ \frac{1}{11} ដង -19y+25។

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

ជំនួស \frac{-19y+25}{11} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 19x+11y=15។

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

គុណ 19 ដង \frac{-19y+25}{11}។

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

បូក -\frac{361y}{11} ជាមួយ 11y។

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

ដក \frac{475}{11} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{240}{11} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=\frac{31}{24}$$

ជំនួស \frac{31}{24} សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

គុណ -\frac{19}{11} ដង \frac{31}{24} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

បូក \frac{25}{11} ជាមួយ -\frac{589}{264} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=\frac{1}{24}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 11x និង 19x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 19 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 11។

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

ដក 209x+121y=165 ពី 209x+361y=475 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

បូក 209x ជាមួយ -209x។ ការលុបតួ 209x និង -209x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$361y-121y=475-165$$

បូក 361y ជាមួយ -121y។

$$240y=475-165$$

បូក 475 ជាមួយ -165។

$$240y=310$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 240។

$$y=\frac{31}{24}$$

ជំនួស \frac{31}{24} សម្រាប់ y ក្នុង 19x+11y=15។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

គុណ 11 ដង \frac{31}{24}។

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

ដក \frac{341}{24} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$19x=\frac{19}{24}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 19។

$$x=\frac{1}{24}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$