ដោះស្រាយ {l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=4$$

$$y=7$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក 6y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$10x+y-6y=5$$

បន្សំ y និង -6y ដើម្បីបាន -5y។

$$10x-5y=5$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 10x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$10y+x-10x=y+27$$

បន្សំ x និង -10x ដើម្បីបាន -9x។

$$10y-9x=y+27$$

ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$10y-9x-y=27$$

បន្សំ 10y និង -y ដើម្បីបាន 9y។

$$9y-9x=27$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$10x-5y=5$$

បូក 5y ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$10x=5y+5$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 10។

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

គុណ \frac{1}{10} ដង 5+5y។

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

ជំនួស \frac{1+y}{2} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត -9x+9y=27។

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

គុណ -9 ដង \frac{1+y}{2}។

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

បូក -\frac{9y}{2} ជាមួយ 9y។

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

បូក \frac{9}{2} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{9}{2} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=7$$

ជំនួស 7 សម្រាប់ y ក្នុង x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

គុណ \frac{1}{2} ដង 7។

$$x=\frac{7+1}{2}$$

បូក \frac{1}{2} ជាមួយ \frac{7}{2} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=4$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=4,y=7$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក 6y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$10x+y-6y=5$$

បន្សំ y និង -6y ដើម្បីបាន -5y។

$$10x-5y=5$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 10x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$10y+x-10x=y+27$$

បន្សំ x និង -10x ដើម្បីបាន -9x។

$$10y-9x=y+27$$

ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$10y-9x-y=27$$

បន្សំ 10y និង -y ដើម្បីបាន 9y។

$$9y-9x=27$$

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=4,y=7$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក 6y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$10x+y-6y=5$$

បន្សំ y និង -6y ដើម្បីបាន -5y។

$$10x-5y=5$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 10x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$10y+x-10x=y+27$$

បន្សំ x និង -10x ដើម្បីបាន -9x។

$$10y-9x=y+27$$

ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$10y-9x-y=27$$

បន្សំ 10y និង -y ដើម្បីបាន 9y។

$$9y-9x=27$$

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 10x និង -9x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ -9 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 10។

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

ដក -90x+90y=270 ពី -90x+45y=-45 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

បូក -90x ជាមួយ 90x។ ការលុបតួ -90x និង 90x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$45y-90y=-45-270$$

បូក 45y ជាមួយ -90y។

$$-45y=-45-270$$

បូក -45 ជាមួយ -270។

$$-45y=-315$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -45។

$$y=7$$

ជំនួស 7 សម្រាប់ y ក្នុង -9x+9y=27។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$-9x+9\times 7=27$$

គុណ 9 ដង 7។

$$-9x+63=27$$

ដក 63 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-9x=-36$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -9។

$$x=4$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=4,y=7$$