ដោះស្រាយ {l}{x+3y/3=y+1/2+3x/4}{3x+5y/5=frac{x+4}{2}-frac{x+y+9}{10}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 3 y } { 3 } = \frac { y + 1 } { 2 } + \frac { 3 x } { 4 } } \\ { \frac { 3 x + 5 y } { 5 } = \frac { x + 4 } { 2 } - \frac { x + y + 9 } { 10 } } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=0$$

$$y=1$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ គុណជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរនឹង 12 ផលគុណរួមតូចបំផុតនៃ 3,2,4។

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 4 នឹង x+3y។

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 6 នឹង y+1។

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

គុណ 3 និង 3 ដើម្បីបាន 9។

$$4x+12y=6y+6+9x$$

ដក 6y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$4x+12y-6y=6+9x$$

បន្សំ 12y និង -6y ដើម្បីបាន 6y។

$$4x+6y=6+9x$$

ដក 9x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$4x+6y-9x=6$$

បន្សំ 4x និង -9x ដើម្បីបាន -5x។

$$-5x+6y=6$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ គុណជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរនឹង 10 ផលគុណរួមតូចបំផុតនៃ 5,2,10។

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 2 នឹង 3x+5y។

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 5 នឹង x+4។

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

ដើម្បីរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃ x+y+9 សូមរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃពាក្យនីមួយៗ។

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

បន្សំ 5x និង -x ដើម្បីបាន 4x។

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

ដក​ 9 ពី 20 ដើម្បីបាន 11។

$$6x+10y=4x+11-y$$

ដក 4x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$6x+10y-4x=11-y$$

បន្សំ 6x និង -4x ដើម្បីបាន 2x។

$$2x+10y=11-y$$

បន្ថែម y ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$2x+10y+y=11$$

បន្សំ 10y និង y ដើម្បីបាន 11y។

$$2x+11y=11$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$-5x+6y=6$$

ដក 6y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-5x=-6y+6$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -5។

$$x=-\frac{1}{5}\left(-6y+6\right)$$

គុណ -\frac{1}{5} ដង -6y+6។

$$x=\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}$$

ជំនួស \frac{-6+6y}{5} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 2x+11y=11។

$$2\left(\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}\right)+11y=11$$

គុណ 2 ដង \frac{-6+6y}{5}។

$$\frac{12}{5}y-\frac{12}{5}+11y=11$$

បូក \frac{12y}{5} ជាមួយ 11y។

$$\frac{67}{5}y-\frac{12}{5}=11$$

បូក \frac{12}{5} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{67}{5}y=\frac{67}{5}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{67}{5} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=1$$

ជំនួស 1 សម្រាប់ y ក្នុង x=\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\frac{6-6}{5}$$

បូក -\frac{6}{5} ជាមួយ \frac{6}{5} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=0$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=0,y=1$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ គុណជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរនឹង 12 ផលគុណរួមតូចបំផុតនៃ 3,2,4។

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 4 នឹង x+3y។

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 6 នឹង y+1។

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

គុណ 3 និង 3 ដើម្បីបាន 9។

$$4x+12y=6y+6+9x$$

ដក 6y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$4x+12y-6y=6+9x$$

បន្សំ 12y និង -6y ដើម្បីបាន 6y។

$$4x+6y=6+9x$$

ដក 9x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$4x+6y-9x=6$$

បន្សំ 4x និង -9x ដើម្បីបាន -5x។

$$-5x+6y=6$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ គុណជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរនឹង 10 ផលគុណរួមតូចបំផុតនៃ 5,2,10។

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 2 នឹង 3x+5y។

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 5 នឹង x+4។

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

ដើម្បីរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃ x+y+9 សូមរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃពាក្យនីមួយៗ។

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

បន្សំ 5x និង -x ដើម្បីបាន 4x។

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

ដក​ 9 ពី 20 ដើម្បីបាន 11។

$$6x+10y=4x+11-y$$

ដក 4x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$6x+10y-4x=11-y$$

បន្សំ 6x និង -4x ដើម្បីបាន 2x។

$$2x+10y=11-y$$

បន្ថែម y ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$2x+10y+y=11$$

បន្សំ 10y និង y ដើម្បីបាន 11y។

$$2x+11y=11$$

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{-5\times 11-6\times 2}&-\frac{6}{-5\times 11-6\times 2}\\-\frac{2}{-5\times 11-6\times 2}&-\frac{5}{-5\times 11-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{67}&\frac{6}{67}\\\frac{2}{67}&\frac{5}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{67}\times 6+\frac{6}{67}\times 11\\\frac{2}{67}\times 6+\frac{5}{67}\times 11\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=0,y=1$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ គុណជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរនឹង 12 ផលគុណរួមតូចបំផុតនៃ 3,2,4។

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 4 នឹង x+3y។

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 6 នឹង y+1។

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

គុណ 3 និង 3 ដើម្បីបាន 9។

$$4x+12y=6y+6+9x$$

ដក 6y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$4x+12y-6y=6+9x$$

បន្សំ 12y និង -6y ដើម្បីបាន 6y។

$$4x+6y=6+9x$$

ដក 9x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$4x+6y-9x=6$$

បន្សំ 4x និង -9x ដើម្បីបាន -5x។

$$-5x+6y=6$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ គុណជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរនឹង 10 ផលគុណរួមតូចបំផុតនៃ 5,2,10។

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 2 នឹង 3x+5y។

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 5 នឹង x+4។

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

ដើម្បីរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃ x+y+9 សូមរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃពាក្យនីមួយៗ។

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

បន្សំ 5x និង -x ដើម្បីបាន 4x។

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

ដក​ 9 ពី 20 ដើម្បីបាន 11។

$$6x+10y=4x+11-y$$

ដក 4x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$6x+10y-4x=11-y$$

បន្សំ 6x និង -4x ដើម្បីបាន 2x។

$$2x+10y=11-y$$

បន្ថែម y ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$2x+10y+y=11$$

បន្សំ 10y និង y ដើម្បីបាន 11y។

$$2x+11y=11$$

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ -5x និង 2x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 2 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ -5។

$$2\left(-5\right)x+2\times 6y=2\times 6,-5\times 2x-5\times 11y=-5\times 11$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$-10x+12y=12,-10x-55y=-55$$

ដក -10x-55y=-55 ពី -10x+12y=12 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$-10x+10x+12y+55y=12+55$$

បូក -10x ជាមួយ 10x។ ការលុបតួ -10x និង 10x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$12y+55y=12+55$$

បូក 12y ជាមួយ 55y។

$$67y=12+55$$

បូក 12 ជាមួយ 55។

$$67y=67$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 67។

$$y=1$$

ជំនួស 1 សម្រាប់ y ក្នុង 2x+11y=11។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$2x+11=11$$

ដក 11 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$2x=0$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 2។

$$x=0$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=0,y=1$$