ដោះស្រាយ {c}{5x-3y+1=0}{3x=4y+11}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 5 x - 3 y + 1 = 0 } \\ { 3 x = 4 y + 11 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x = -\frac{37}{11} = -3\frac{4}{11} \approx -3.363636364$$

$$y = -\frac{58}{11} = -5\frac{3}{11} \approx -5.272727273$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក 1 ពីជ្រុងទាំងពីរ។ អ្វីមួយដកសូន្យបានលទ្ធផលបដិសេធខ្លួនឯង។

$$5x-3y=-1$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 4y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x-4y=11$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$5x-3y=-1,3x-4y=11$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$5x-3y=-1$$

បូក 3y ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$5x=3y-1$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 5។

$$x=\frac{1}{5}\left(3y-1\right)$$

គុណ \frac{1}{5} ដង 3y-1។

$$x=\frac{3}{5}y-\frac{1}{5}$$

ជំនួស \frac{3y-1}{5} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 3x-4y=11។

$$3\left(\frac{3}{5}y-\frac{1}{5}\right)-4y=11$$

គុណ 3 ដង \frac{3y-1}{5}។

$$\frac{9}{5}y-\frac{3}{5}-4y=11$$

បូក \frac{9y}{5} ជាមួយ -4y។

$$-\frac{11}{5}y-\frac{3}{5}=11$$

បូក \frac{3}{5} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{11}{5}y=\frac{58}{5}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{11}{5} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=-\frac{58}{11}$$

ជំនួស -\frac{58}{11} សម្រាប់ y ក្នុង x=\frac{3}{5}y-\frac{1}{5}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{58}{11}\right)-\frac{1}{5}$$

គុណ \frac{3}{5} ដង -\frac{58}{11} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$x=-\frac{174}{55}-\frac{1}{5}$$

បូក -\frac{1}{5} ជាមួយ -\frac{174}{55} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=-\frac{37}{11}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-\frac{37}{11},y=-\frac{58}{11}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក 1 ពីជ្រុងទាំងពីរ។ អ្វីមួយដកសូន្យបានលទ្ធផលបដិសេធខ្លួនឯង។

$$5x-3y=-1$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 4y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x-4y=11$$

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$5x-3y=-1,3x-4y=11$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}5&-3\\3&-4\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\left(-1\right)-\frac{3}{11}\times 11\\\frac{3}{11}\left(-1\right)-\frac{5}{11}\times 11\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{37}{11}\\-\frac{58}{11}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=-\frac{37}{11},y=-\frac{58}{11}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក 1 ពីជ្រុងទាំងពីរ។ អ្វីមួយដកសូន្យបានលទ្ធផលបដិសេធខ្លួនឯង។

$$5x-3y=-1$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 4y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x-4y=11$$

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$5x-3y=-1,3x-4y=11$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 5x និង 3x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 3 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 5។

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\left(-1\right),5\times 3x+5\left(-4\right)y=5\times 11$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$15x-9y=-3,15x-20y=55$$

ដក 15x-20y=55 ពី 15x-9y=-3 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$15x-15x-9y+20y=-3-55$$

បូក 15x ជាមួយ -15x។ ការលុបតួ 15x និង -15x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$-9y+20y=-3-55$$

បូក -9y ជាមួយ 20y។

$$11y=-3-55$$

បូក -3 ជាមួយ -55។

$$11y=-58$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 11។

$$y=-\frac{58}{11}$$

ជំនួស -\frac{58}{11} សម្រាប់ y ក្នុង 3x-4y=11។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$3x-4\left(-\frac{58}{11}\right)=11$$

គុណ -4 ដង -\frac{58}{11}។

$$3x+\frac{232}{11}=11$$

ដក \frac{232}{11} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=-\frac{111}{11}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=-\frac{37}{11}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-\frac{37}{11},y=-\frac{58}{11}$$