ដោះស្រាយ frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

ជំហានសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការរ៉ាឌីកាល់

ធ្វើសនិទានកម្ម​ភាគបែង​នៃ \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} ដោយគុណ​ភាគយក​ និង​ភាគបែង​​នឹង 2+\sqrt{5}។​

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

ពិនិត្យ \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)។ ផលគុណអាចបម្លែងទៅជាផលដកនៃការេដោយប្រើវិធាន៖ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}។

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

ការ៉េ 2។ ការ៉េ \sqrt{5}។

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

ដក​ 5 ពី 4 ដើម្បីបាន -1។

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

គុណ 2+\sqrt{5} និង 2+\sqrt{5} ដើម្បីបាន \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}។

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

ប្រើទ្រឹស្ដីបទទ្វេរធា \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ដើម្បីពង្រីក \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}។

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

ការេនៃ \sqrt{5} គឺ 5។​

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

បូក 4 និង 5 ដើម្បីបាន 9។

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

អ្វីមួយដែលត្រូវបានចែក​ដោយ​ -1 ផ្តល់​ឲ្យនូវ​ចំនួនផ្ទុយ​របស់​វា​។​ ដើម្បីរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃ 9+4\sqrt{5} សូមរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃពាក្យនីមួយៗ។

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

ធ្វើសនិទានកម្ម​ភាគបែង​នៃ \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} ដោយគុណ​ភាគយក​ និង​ភាគបែង​​នឹង 2-\sqrt{5}។​

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

ពិនិត្យ \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)។ ផលគុណអាចបម្លែងទៅជាផលដកនៃការេដោយប្រើវិធាន៖ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}។

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

ការ៉េ 2។ ការ៉េ \sqrt{5}។

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

ដក​ 5 ពី 4 ដើម្បីបាន -1។

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

គុណ 2-\sqrt{5} និង 2-\sqrt{5} ដើម្បីបាន \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}។

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

ប្រើទ្រឹស្ដីបទទ្វេរធា \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ដើម្បីពង្រីក \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}។

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

ការេនៃ \sqrt{5} គឺ 5។​

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

បូក 4 និង 5 ដើម្បីបាន 9។

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

អ្វីមួយដែលត្រូវបានចែក​ដោយ​ -1 ផ្តល់​ឲ្យនូវ​ចំនួនផ្ទុយ​របស់​វា​។​ ដើម្បីរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃ 9-4\sqrt{5} សូមរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃពាក្យនីមួយៗ។

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

ដក​ 9 ពី -9 ដើម្បីបាន -18។

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

បន្សំ -4\sqrt{5} និង 4\sqrt{5} ដើម្បីបាន 0។

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

ប្ដូរផ្នែកទាំងពីរ ដើម្បីឲ្យតួអថេរទាំងអស់ស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេង។

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

ដក a ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

លើកជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការជាការ៉េ។

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 5។

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

ការចែកនឹង 5 មិនធ្វើប្រមាណវិធីគុណនឹង 5 ឡើងវិញ។

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ a (complex solution)

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ b (complex solution)

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$arg(\frac{-a-18}{5})<\pi \text{ or }a=-18$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$