ដោះស្រាយ 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

ជំហានដោយការប្រើរូបមន្ដកាដ្រាទីក

អថេរ x មិនអាចស្មើនឹងតម្លៃណាមួយបានទេ -1,1 ដោយសារ​ការចែកនឹងសូន្យមិនត្រូវបានកំណត់។ គុណជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរនឹង \left(x-1\right)\left(x+1\right) ផលគុណរួមតូចបំផុតនៃ x+1,x-1,x^{2}-1។

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ x+1 នឹង 2។

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

បន្សំ x និង 2x ដើម្បីបាន 3x។

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

បូក -1 និង 2 ដើម្បីបាន 1។

$$3x+1=x^{2}+2x$$

ដក x^{2} ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x+1-x^{2}=2x$$

ដក 2x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

បន្សំ 3x និង -2x ដើម្បីបាន x។

$$x+1-x^{2}=0$$

គ្រប់សមីការរដែលមានទម្រង់ ax^{2}+bx+c=0 អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយការប្រើរូបមន្តកាដ្រាទីក៖ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}។ រូបមន្តកាដ្រាទីកផ្ដល់នូវចម្លើយពីរ ចម្លើយមួយគឺនៅពេល ± ជាផលបូក និងចម្លើយមួយទៀតនៅពេលវាជាផលដក។

$$-x^{2}+x+1=0$$

សមីការរនេះមានទម្រង់ស្ដង់ដារ៖ ax^{2}+bx+c=0។ ជំនួស -1 សម្រាប់ a, 1 សម្រាប់ b និង 1 សម្រាប់ c នៅក្នុងរូបមន្តកាដ្រាទីក, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}។

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

ការ៉េ 1។

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

គុណ -4 ដង -1។

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

បូក 1 ជាមួយ 4។

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

គុណ 2 ដង -1។

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

ឥឡូវដោះស្រាយសមីការរ x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} នៅពេល ± គឺជាសញ្ញាបូក។ បូក -1 ជាមួយ \sqrt{5}។

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

ចែក -1+\sqrt{5} នឹង -2។

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

ឥឡូវដោះស្រាយសមីការរ x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} នៅពេល ± គឺជាសញ្ញាដក។ ដក \sqrt{5} ពី -1។

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

ចែក -1-\sqrt{5} នឹង -2។

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

សមីការរឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

ជំហានសម្រាប់បំពេញការ៉េ

អថេរ x មិនអាចស្មើនឹងតម្លៃណាមួយបានទេ -1,1 ដោយសារ​ការចែកនឹងសូន្យមិនត្រូវបានកំណត់។ គុណជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរនឹង \left(x-1\right)\left(x+1\right) ផលគុណរួមតូចបំផុតនៃ x+1,x-1,x^{2}-1។

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ x+1 នឹង 2។

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

បន្សំ x និង 2x ដើម្បីបាន 3x។

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

បូក -1 និង 2 ដើម្បីបាន 1។

$$3x+1=x^{2}+2x$$

ដក x^{2} ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x+1-x^{2}=2x$$

ដក 2x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

បន្សំ 3x និង -2x ដើម្បីបាន x។

$$x+1-x^{2}=0$$

ដក 1 ពីជ្រុងទាំងពីរ។ អ្វីមួយដកសូន្យបានលទ្ធផលបដិសេធខ្លួនឯង។

$$x-x^{2}=-1$$

សមីការរកាដ្រាទីកដូចសមីការរមួយនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយ​ការបំពេញការ៉េ សមីការរត្រូវតែដំបូងស្ថិតនៅក្នុងទម្រង់ x^{2}+bx=c។

$$-x^{2}+x=-1$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -1។

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

ការចែកនឹង -1 មិនធ្វើប្រមាណវិធីគុណនឹង -1 ឡើងវិញ។

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

ចែក 1 នឹង -1។

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

ចែក -1 នឹង -1។

$$x^{2}-x=1$$

ចែក -1 ដែលជាមេគុណនៃតួ x នឹង 2 ដើម្បីបាន -\frac{1}{2}។ បន្ទាប់មក​បូកការ៉េនៃ -\frac{1}{2} ជាមួយ​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។ ជំហាននេះធ្វើឲ្យជ្រុងខាងឆ្វេងនៃសមីការរក្លាយជាការេប្រាកដមួយ។

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

លើក -\frac{1}{2} ជាការ៉េដោយលើកជាការ៉េទាំងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគ។

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

បូក 1 ជាមួយ \frac{1}{4}។

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

ដាក់ជាកត្តា x^{2}-x+\frac{1}{4} ។ ជាទូទៅ នៅពេល x^{2}+bx+c គឺជាការ៉េប្រាកដ វាតែងតែអាចត្រូវបានដាក់ជាកត្តាជា \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}។

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

យក​ឬសការ៉េនៃជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការ។

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

បូក \frac{1}{2} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$