x^2+31x-360=0 шешу

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

x мәнін табыңыз

$$x=-40$$

$$x=9$$

Көбейткіштерге жіктеу әдісін пайдалану қадамдары

Теңдеуді шешу үшін x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) формуласын қолданып, x^{2}+31x-360 мәнін көбейткіштерге жіктеңіз. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=31 ab=-360$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні оң болғандықтан, оң санның абсолютті мәні теріс санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -360 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Шешім — бұл 31 қосындысын беретін жұп.

$$a=-9 b=40$$

Алынған мәндерді пайдаланып, көбейткішке жіктелген \left(x+a\right)\left(x+b\right) өрнегін қайта жазыңыз.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, x-9=0 және x+40=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$x=9 x=-40$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы x^{2}+ax+bx-360 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні оң болғандықтан, оң санның абсолютті мәні теріс санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -360 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Шешім — бұл 31 қосындысын беретін жұп.

$$a=-9 b=40$$

x^{2}+31x-360 мәнін \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

Бірінші топтағы x ортақ көбейткішін және екінші топтағы 40 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы x-9 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, x-9=0 және x+40=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$x=9 x=-40$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 1 санын a мәніне, 31 санын b мәніне және -360 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

31 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

-4 санын -360 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

961 санын 1440 санына қосу.

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

2401 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{-31±49}{2} теңдеуін шешіңіз. -31 санын 49 санына қосу.

$$x=\frac{18}{2}$$

18 санын 2 санына бөліңіз.

$$x=9$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{-31±49}{2} теңдеуін шешіңіз. 49 мәнінен -31 мәнін алу.

$$x=-\frac{80}{2}$$

-80 санын 2 санына бөліңіз.

$$x=-40$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=9 x=-40$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Теңдеудің екі жағына да 360 санын қосыңыз.

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

-360 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

-360 мәнінен 0 мәнін алу.

$$x^{2}+31x=360$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын 31 санын 2 мәніне бөлсеңіз, \frac{31}{2} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына \frac{31}{2} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы \frac{31}{2} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

360 санын \frac{961}{4} санына қосу.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

x^{2}+31x+\frac{961}{4} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

Қысқартыңыз.

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{31}{2} санын алып тастаңыз.

$$x=9 x=-40$$