7x^2+5x-78=0 шешу

$$7 x ^ { 2 } + 5 x - 78 = 0$$

x мәнін табыңыз

$$x = -\frac{26}{7} = -3\frac{5}{7} \approx -3.714285714$$

$$x=3$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы 7x^{2}+ax+bx-78 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=5 ab=7\left(-78\right)=-546$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні оң болғандықтан, оң санның абсолютті мәні теріс санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -546 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$-1,546 -2,273 -3,182 -6,91 -7,78 -13,42 -14,39 -21,26$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$-1+546=545 -2+273=271 -3+182=179 -6+91=85 -7+78=71 -13+42=29 -14+39=25 -21+26=5$$

Шешім — бұл 5 қосындысын беретін жұп.

$$a=-21 b=26$$

7x^{2}+5x-78 мәнін \left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)$$

Бірінші топтағы 7x ортақ көбейткішін және екінші топтағы 26 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$7x\left(x-3\right)+26\left(x-3\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы x-3 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(x-3\right)\left(7x+26\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, x-3=0 және 7x+26=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 7 санын a мәніне, 5 санын b мәніне және -78 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

5 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

-4 санын 7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

-28 санын -78 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+2184}}{2\times 7}$$

25 санын 2184 санына қосу.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2209}}{2\times 7}$$

2209 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-5±47}{2\times 7}$$

2 санын 7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-5±47}{14}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{-5±47}{14} теңдеуін шешіңіз. -5 санын 47 санына қосу.

$$x=\frac{42}{14}$$

42 санын 14 санына бөліңіз.

$$x=3$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{-5±47}{14} теңдеуін шешіңіз. 47 мәнінен -5 мәнін алу.

$$x=-\frac{52}{14}$$

2 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{-52}{14} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$x=-\frac{26}{7}$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Теңдеудің екі жағына да 78 санын қосыңыз.

$$7x^{2}+5x-78-\left(-78\right)=-\left(-78\right)$$

-78 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$7x^{2}+5x=-\left(-78\right)$$

-78 мәнінен 0 мәнін алу.

$$7x^{2}+5x=78$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=\frac{78}{7}$$

7 санына бөлген кезде 7 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=\frac{78}{7}$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын \frac{5}{7} санын 2 мәніне бөлсеңіз, \frac{5}{14} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына \frac{5}{14} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{78}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы \frac{5}{14} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{78}{7}+\frac{25}{196}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{78}{7} бөлшегіне \frac{25}{196} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{2209}{196}$$

x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{2209}{196}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{196}}$$

Қысқартыңыз.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{47}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{47}{14}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5}{14} санын алып тастаңыз.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$