3x^2+8x-11=0 шешу

$$3 x ^ { 2 } + 8 x - 11 = 0$$

x мәнін табыңыз

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$x=1$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы 3x^{2}+ax+bx-11 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=8 ab=3\left(-11\right)=-33$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні оң болғандықтан, оң санның абсолютті мәні теріс санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -33 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$-1,33 -3,11$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

Шешім — бұл 8 қосындысын беретін жұп.

$$a=-3 b=11$$

3x^{2}+8x-11 мәнін \left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)$$

Бірінші топтағы 3x ортақ көбейткішін және екінші топтағы 11 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$3x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы x-1 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(x-1\right)\left(3x+11\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, x-1=0 және 3x+11=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 3 санын a мәніне, 8 санын b мәніне және -11 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

8 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

-4 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

-12 санын -11 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\times 3}$$

64 санын 132 санына қосу.

$$x=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-8±14}{2\times 3}$$

2 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-8±14}{6}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{-8±14}{6} теңдеуін шешіңіз. -8 санын 14 санына қосу.

$$x=\frac{6}{6}$$

6 санын 6 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{-8±14}{6} теңдеуін шешіңіз. 14 мәнінен -8 мәнін алу.

$$x=-\frac{22}{6}$$

2 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{-22}{6} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Теңдеудің екі жағына да 11 санын қосыңыз.

$$3x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

-11 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$3x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

-11 мәнінен 0 мәнін алу.

$$3x^{2}+8x=11$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{11}{3}$$

3 санына бөлген кезде 3 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын \frac{8}{3} санын 2 мәніне бөлсеңіз, \frac{4}{3} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына \frac{4}{3} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы \frac{4}{3} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{11}{3} бөлшегіне \frac{16}{9} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Қысқартыңыз.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{4}{3} санын алып тастаңыз.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$