23x^2+11x+9=0 шешу

$$23 x ^ { 2 } + 11 x + 9 = 0$$

x мәнін табыңыз (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}\approx -0.239130435+0.578031991i$$

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}\approx -0.239130435-0.578031991i$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 23 санын a мәніне, 11 санын b мәніне және 9 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

11 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

-4 санын 23 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-92\times 9}}{2\times 23}$$

-92 санын 9 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-828}}{2\times 23}$$

121 санын -828 санына қосу.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-707}}{2\times 23}$$

-707 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{2\times 23}$$

2 санын 23 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} теңдеуін шешіңіз. -11 санын i\sqrt{707} санына қосу.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} теңдеуін шешіңіз. i\sqrt{707} мәнінен -11 мәнін алу.

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Теңдеудің екі жағынан 9 санын алып тастаңыз.

$$23x^{2}+11x+9-9=-9$$

9 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$23x^{2}+11x=-9$$

Екі жағын да 23 санына бөліңіз.

$$\frac{23x^{2}+11x}{23}=-\frac{9}{23}$$

23 санына бөлген кезде 23 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x=-\frac{9}{23}$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын \frac{11}{23} санын 2 мәніне бөлсеңіз, \frac{11}{46} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына \frac{11}{46} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{9}{23}+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы \frac{11}{46} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{9}{23}+\frac{121}{2116}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{9}{23} бөлшегіне \frac{121}{2116} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{707}{2116}$$

x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{707}{2116}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{707}{2116}}$$

Қысқартыңыз.

$$x+\frac{11}{46}=\frac{\sqrt{707}i}{46} x+\frac{11}{46}=-\frac{\sqrt{707}i}{46}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{11}{46} санын алып тастаңыз.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$