{c}{3x+2y=5}{x+3y=-3} шешу

$$\left.\begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 5 } \\ { x + 3 y = - 3 } \end{array} \right\}$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=-2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+2y=5,x+3y=-3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+2y=5$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$3x=-2y+5$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+5\right)$$

\frac{1}{3} санын -2y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+5}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+3y=-3.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}+3y=-3$$

-\frac{2y}{3} санын 3y санына қосу.

$$\frac{7}{3}y+\frac{5}{3}=-3$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{7}{3}y=-\frac{14}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{7}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-2$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3} теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{5}{3}$$

-\frac{2}{3} санын -2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{4+5}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{3} бөлшегіне \frac{4}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=-2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+2y=5,x+3y=-3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{2}{3\times 3-2}\\-\frac{1}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 5-\frac{2}{7}\left(-3\right)\\-\frac{1}{7}\times 5+\frac{3}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=-2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+2y=5,x+3y=-3$$

3x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$3x+2y=5,3x+3\times 3y=3\left(-3\right)$$

Қысқартыңыз.

$$3x+2y=5,3x+9y=-9$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x+9y=-9 мәнін 3x+2y=5 мәнінен алып тастаңыз.

$$3x-3x+2y-9y=5+9$$

3x санын -3x санына қосу. 3x және -3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2y-9y=5+9$$

2y санын -9y санына қосу.

$$-7y=5+9$$

5 санын 9 санына қосу.

$$-7y=14$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

x+3y=-3 теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+3\left(-2\right)=-3$$

3 санын -2 санына көбейтіңіз.

$$x-6=-3$$

Теңдеудің екі жағына да 6 санын қосыңыз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=-2$$