{r}{x+4y=25}{-4x+3y=52} шешу

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 25 } \\ { - 4 x + 3 y = 52 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-7$$

$$y=8$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+4y=25$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$x=-4y+25$$

Басқа теңдеуде -4y+25 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -4x+3y=52.

$$-4\left(-4y+25\right)+3y=52$$

-4 санын -4y+25 санына көбейтіңіз.

$$16y-100+3y=52$$

16y санын 3y санына қосу.

$$19y-100=52$$

Теңдеудің екі жағына да 100 санын қосыңыз.

$$19y=152$$

Екі жағын да 19 санына бөліңіз.

$$y=8$$

x=-4y+25 теңдеуінде 8 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-4\times 8+25$$

-4 санын 8 санына көбейтіңіз.

$$x=-32+25$$

25 санын -32 санына қосу.

$$x=-7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-7,y=8$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-4\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-4\left(-4\right)}&\frac{1}{3-4\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&-\frac{4}{19}\\\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 25-\frac{4}{19}\times 52\\\frac{4}{19}\times 25+\frac{1}{19}\times 52\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-7,y=8$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

x және -4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$-4x-4\times 4y=-4\times 25,-4x+3y=52$$

Қысқартыңыз.

$$-4x-16y=-100,-4x+3y=52$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -4x+3y=52 мәнін -4x-16y=-100 мәнінен алып тастаңыз.

$$-4x+4x-16y-3y=-100-52$$

-4x санын 4x санына қосу. -4x және 4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-16y-3y=-100-52$$

-16y санын -3y санына қосу.

$$-19y=-100-52$$

-100 санын -52 санына қосу.

$$-19y=-152$$

Екі жағын да -19 санына бөліңіз.

$$y=8$$

-4x+3y=52 теңдеуінде 8 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-4x+3\times 8=52$$

3 санын 8 санына көбейтіңіз.

$$-4x+24=52$$

Теңдеудің екі жағынан 24 санын алып тастаңыз.

$$-4x=28$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=-7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-7,y=8$$