{r}{32x+3y=5}{3x+2y=70} шешу

$$\left. \begin{array} { r } { 32 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{40}{11} = -3\frac{7}{11} \approx -3.636363636$$

$$y = \frac{445}{11} = 40\frac{5}{11} \approx 40.454545455$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$32x+3y=5$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$32x=-3y+5$$

Екі жағын да 32 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{32}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{32} санын -3y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+5}{32} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}\right)+2y=70$$

3 санын \frac{-3y+5}{32} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{9}{32}y+\frac{15}{32}+2y=70$$

-\frac{9y}{32} санын 2y санына қосу.

$$\frac{55}{32}y+\frac{15}{32}=70$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{15}{32} санын алып тастаңыз.

$$\frac{55}{32}y=\frac{2225}{32}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{55}{32} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{445}{11}$$

x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32} теңдеуінде \frac{445}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{32}\times \frac{445}{11}+\frac{5}{32}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{445}{11} санын -\frac{3}{32} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{1335}{352}+\frac{5}{32}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{32} бөлшегіне -\frac{1335}{352} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{40}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{32\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}&\frac{32}{32\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}&-\frac{3}{55}\\-\frac{3}{55}&\frac{32}{55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}\times 5-\frac{3}{55}\times 70\\-\frac{3}{55}\times 5+\frac{32}{55}\times 70\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{11}\\\frac{445}{11}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

32x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 32 санына көбейтіңіз.

$$3\times 32x+3\times 3y=3\times 5,32\times 3x+32\times 2y=32\times 70$$

Қысқартыңыз.

$$96x+9y=15,96x+64y=2240$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 96x+64y=2240 мәнін 96x+9y=15 мәнінен алып тастаңыз.

$$96x-96x+9y-64y=15-2240$$

96x санын -96x санына қосу. 96x және -96x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$9y-64y=15-2240$$

9y санын -64y санына қосу.

$$-55y=15-2240$$

15 санын -2240 санына қосу.

$$-55y=-2225$$

Екі жағын да -55 санына бөліңіз.

$$y=\frac{445}{11}$$

3x+2y=70 теңдеуінде \frac{445}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+2\times \frac{445}{11}=70$$

2 санын \frac{445}{11} санына көбейтіңіз.

$$3x+\frac{890}{11}=70$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{890}{11} санын алып тастаңыз.

$$3x=-\frac{120}{11}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{40}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$