{r}{2x+5y=33}{x+3y=19} шешу

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 5 y = 33 } \\ { x + 3 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=4$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+5y=33$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$2x=-5y+33$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+33\right)$$

\frac{1}{2} санын -5y+33 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-5y+33}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+3y=19.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}+3y=19$$

-\frac{5y}{2} санын 3y санына қосу.

$$\frac{1}{2}y+\frac{33}{2}=19$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{33}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$y=5$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2} теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{2}\times 5+\frac{33}{2}$$

-\frac{5}{2} санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-25+33}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{33}{2} бөлшегіне -\frac{25}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5}&-\frac{5}{2\times 3-5}\\-\frac{1}{2\times 3-5}&\frac{2}{2\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-5\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 33-5\times 19\\-33+2\times 19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=4,y=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

2x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$2x+5y=33,2x+2\times 3y=2\times 19$$

Қысқартыңыз.

$$2x+5y=33,2x+6y=38$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x+6y=38 мәнін 2x+5y=33 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x+5y-6y=33-38$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$5y-6y=33-38$$

5y санын -6y санына қосу.

$$-y=33-38$$

33 санын -38 санына қосу.

$$-y=-5$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=5$$

x+3y=19 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+3\times 5=19$$

3 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x+15=19$$

Теңдеудің екі жағынан 15 санын алып тастаңыз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=5$$