{l}{y=-2x+13}{4x+8y=20} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x + 13 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=7$$

$$y=-1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 2x қосу.

$$y+2x=13$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y+2x=13$$

Теңдеудің екі жағынан 2x санын алып тастаңыз.

$$y=-2x+13$$

Басқа теңдеуде -2x+13 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 8y+4x=20.

$$8\left(-2x+13\right)+4x=20$$

8 санын -2x+13 санына көбейтіңіз.

$$-16x+104+4x=20$$

-16x санын 4x санына қосу.

$$-12x+104=20$$

Теңдеудің екі жағынан 104 санын алып тастаңыз.

$$-12x=-84$$

Екі жағын да -12 санына бөліңіз.

$$x=7$$

y=-2x+13 теңдеуінде 7 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-2\times 7+13$$

-2 санын 7 санына көбейтіңіз.

$$y=-14+13$$

13 санын -14 санына қосу.

$$y=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-1,x=7$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 2x қосу.

$$y+2x=13$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 8}&-\frac{2}{4-2\times 8}\\-\frac{8}{4-2\times 8}&\frac{1}{4-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 13+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{3}\times 13-\frac{1}{12}\times 20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=-1,x=7$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 2x қосу.

$$y+2x=13$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

y және 8y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$8y+8\times 2x=8\times 13,8y+4x=20$$

Қысқартыңыз.

$$8y+16x=104,8y+4x=20$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8y+4x=20 мәнін 8y+16x=104 мәнінен алып тастаңыз.

$$8y-8y+16x-4x=104-20$$

8y санын -8y санына қосу. 8y және -8y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$16x-4x=104-20$$

16x санын -4x санына қосу.

$$12x=104-20$$

104 санын -20 санына қосу.

$$12x=84$$

Екі жағын да 12 санына бөліңіз.

$$x=7$$

8y+4x=20 теңдеуінде 7 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$8y+4\times 7=20$$

4 санын 7 санына көбейтіңіз.

$$8y+28=20$$

Теңдеудің екі жағынан 28 санын алып тастаңыз.

$$8y=-8$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$y=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-1,x=7$$