{l}{y=x/3-3}{4x+y=-3} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 3 } - 3 } \\ { 4 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=0$$

$$y=-3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{x}{3} мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

Теңдеудің екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$3y-x=-9$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$3y-x=-9$$

Теңдеудің екі жағына да x санын қосыңыз.

$$3y=x-9$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{3}\left(x-9\right)$$

\frac{1}{3} санын x-9 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{1}{3}x-3$$

Басқа теңдеуде \frac{x}{3}-3 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, y+4x=-3.

$$\frac{1}{3}x-3+4x=-3$$

\frac{x}{3} санын 4x санына қосу.

$$\frac{13}{3}x-3=-3$$

Теңдеудің екі жағына да 3 санын қосыңыз.

$$\frac{13}{3}x=0$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{13}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=0$$

y=\frac{1}{3}x-3 теңдеуінде 0 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-3,x=0$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{x}{3} мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

Теңдеудің екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$3y-x=-9$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\times 4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\times 4-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\left(-9\right)+\frac{1}{13}\left(-3\right)\\-\frac{1}{13}\left(-9\right)+\frac{3}{13}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=-3,x=0$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{x}{3} мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

Теңдеудің екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$3y-x=-9$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

3y және y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$3y-x=-9,3y+3\times 4x=3\left(-3\right)$$

Қысқартыңыз.

$$3y-x=-9,3y+12x=-9$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3y+12x=-9 мәнін 3y-x=-9 мәнінен алып тастаңыз.

$$3y-3y-x-12x=-9+9$$

3y санын -3y санына қосу. 3y және -3y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-x-12x=-9+9$$

-x санын -12x санына қосу.

$$-13x=-9+9$$

-9 санын 9 санына қосу.

$$-13x=0$$

Екі жағын да -13 санына бөліңіз.

$$x=0$$

y+4x=-3 теңдеуінде 0 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-3,x=0$$