{l}{x-y=3}{3x-2y=10} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 3 } \\ { 3 x - 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=4$$

$$y=1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x-y=3,3x-2y=10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x-y=3$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$x=y+3$$

Басқа теңдеуде y+3 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-2y=10.

$$3\left(y+3\right)-2y=10$$

3 санын y+3 санына көбейтіңіз.

$$3y+9-2y=10$$

3y санын -2y санына қосу.

$$y+9=10$$

Теңдеудің екі жағынан 9 санын алып тастаңыз.

$$y=1$$

x=y+3 теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=1+3$$

3 санын 1 санына қосу.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x-y=3,3x-2y=10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-1\\3&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{-2-\left(-3\right)}&\frac{1}{-2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 3+10\\-3\times 3+10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=4,y=1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x-y=3,3x-2y=10$$

x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$3x+3\left(-1\right)y=3\times 3,3x-2y=10$$

Қысқартыңыз.

$$3x-3y=9,3x-2y=10$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x-2y=10 мәнін 3x-3y=9 мәнінен алып тастаңыз.

$$3x-3x-3y+2y=9-10$$

3x санын -3x санына қосу. 3x және -3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-3y+2y=9-10$$

-3y санын 2y санына қосу.

$$-y=9-10$$

9 санын -10 санына қосу.

$$-y=-1$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=1$$

3x-2y=10 теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-2=10$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$3x=12$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=1$$