{l}{x+y=8}{2y=x+1} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 8 } \\ { 2 y = x + 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=5$$

$$y=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$2y-x=1$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=8$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+8$$

Басқа теңдеуде -y+8 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -x+2y=1.

$$-\left(-y+8\right)+2y=1$$

-1 санын -y+8 санына көбейтіңіз.

$$y-8+2y=1$$

y санын 2y санына қосу.

$$3y-8=1$$

Теңдеудің екі жағына да 8 санын қосыңыз.

$$3y=9$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=3$$

x=-y+8 теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-3+8$$

8 санын -3 санына қосу.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$2y-x=1$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}&\frac{1}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 8-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=5,y=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$2y-x=1$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

x және -x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$-x-y=-8,-x+2y=1$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -x+2y=1 мәнін -x-y=-8 мәнінен алып тастаңыз.

$$-x+x-y-2y=-8-1$$

-x санын x санына қосу. -x және x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-y-2y=-8-1$$

-y санын -2y санына қосу.

$$-3y=-8-1$$

-8 санын -1 санына қосу.

$$-3y=-9$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=3$$

-x+2y=1 теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-x+2\times 3=1$$

2 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$-x+6=1$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$-x=-5$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=3$$