{l}{x+y=65}{35x+25y=1875} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 65 } \\ { 35 x + 25 y = 1875 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=25$$

$$y=40$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=65,35x+25y=1875$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=65$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+65$$

Басқа теңдеуде -y+65 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 35x+25y=1875.

$$35\left(-y+65\right)+25y=1875$$

35 санын -y+65 санына көбейтіңіз.

$$-35y+2275+25y=1875$$

-35y санын 25y санына қосу.

$$-10y+2275=1875$$

Теңдеудің екі жағынан 2275 санын алып тастаңыз.

$$-10y=-400$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$y=40$$

x=-y+65 теңдеуінде 40 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-40+65$$

65 санын -40 санына қосу.

$$x=25$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=25,y=40$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=65,35x+25y=1875$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\35&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}65\\1875\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\35&25\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\35&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\35&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\35&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}65\\1875\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\35&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}65\\1875\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\35&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}65\\1875\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-35}&-\frac{1}{25-35}\\-\frac{35}{25-35}&\frac{1}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}65\\1875\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\\\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}65\\1875\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 65+\frac{1}{10}\times 1875\\\frac{7}{2}\times 65-\frac{1}{10}\times 1875\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\40\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=25,y=40$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=65,35x+25y=1875$$

x және 35x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 35 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$35x+35y=35\times 65,35x+25y=1875$$

Қысқартыңыз.

$$35x+35y=2275,35x+25y=1875$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 35x+25y=1875 мәнін 35x+35y=2275 мәнінен алып тастаңыз.

$$35x-35x+35y-25y=2275-1875$$

35x санын -35x санына қосу. 35x және -35x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$35y-25y=2275-1875$$

35y санын -25y санына қосу.

$$10y=2275-1875$$

2275 санын -1875 санына қосу.

$$10y=400$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$y=40$$

35x+25y=1875 теңдеуінде 40 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$35x+25\times 40=1875$$

25 санын 40 санына көбейтіңіз.

$$35x+1000=1875$$

Теңдеудің екі жағынан 1000 санын алып тастаңыз.

$$35x=875$$

Екі жағын да 35 санына бөліңіз.

$$x=25$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=25,y=40$$