{l}{x+y=29}{x*5=y*3} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 29 } \\ { x \cdot 5 = y \cdot 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{87}{8} = 10\frac{7}{8} = 10.875$$

$$y = \frac{145}{8} = 18\frac{1}{8} = 18.125$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y\times 3 мәнін қысқартыңыз.

$$x\times 5-y\times 3=0$$

-3 шығару үшін, -1 және 3 сандарын көбейтіңіз.

$$x\times 5-3y=0$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=29,5x-3y=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=29$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+29$$

Басқа теңдеуде -y+29 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x-3y=0.

$$5\left(-y+29\right)-3y=0$$

5 санын -y+29 санына көбейтіңіз.

$$-5y+145-3y=0$$

-5y санын -3y санына қосу.

$$-8y+145=0$$

Теңдеудің екі жағынан 145 санын алып тастаңыз.

$$-8y=-145$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$y=\frac{145}{8}$$

x=-y+29 теңдеуінде \frac{145}{8} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{145}{8}+29$$

29 санын -\frac{145}{8} санына қосу.

$$x=\frac{87}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{87}{8},y=\frac{145}{8}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y\times 3 мәнін қысқартыңыз.

$$x\times 5-y\times 3=0$$

-3 шығару үшін, -1 және 3 сандарын көбейтіңіз.

$$x\times 5-3y=0$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=29,5x-3y=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\5&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\0\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-5}&-\frac{1}{-3-5}\\-\frac{5}{-3-5}&\frac{1}{-3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\0\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 29\\\frac{5}{8}\times 29\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{87}{8}\\\frac{145}{8}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{87}{8},y=\frac{145}{8}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y\times 3 мәнін қысқартыңыз.

$$x\times 5-y\times 3=0$$

-3 шығару үшін, -1 және 3 сандарын көбейтіңіз.

$$x\times 5-3y=0$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=29,5x-3y=0$$

x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$5x+5y=5\times 29,5x-3y=0$$

Қысқартыңыз.

$$5x+5y=145,5x-3y=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 5x-3y=0 мәнін 5x+5y=145 мәнінен алып тастаңыз.

$$5x-5x+5y+3y=145$$

5x санын -5x санына қосу. 5x және -5x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$5y+3y=145$$

5y санын 3y санына қосу.

$$8y=145$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$y=\frac{145}{8}$$

5x-3y=0 теңдеуінде \frac{145}{8} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x-3\times \frac{145}{8}=0$$

-3 санын \frac{145}{8} санына көбейтіңіз.

$$5x-\frac{435}{8}=0$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{435}{8} санын қосыңыз.

$$5x=\frac{435}{8}$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{87}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{87}{8},y=\frac{145}{8}$$