{l}{x+2y=11}{x-5y=-17} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 11 } \\ { x - 5 y = - 17 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+2y=11,x-5y=-17$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+2y=11$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$x=-2y+11$$

Басқа теңдеуде -2y+11 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x-5y=-17.

$$-2y+11-5y=-17$$

-2y санын -5y санына қосу.

$$-7y+11=-17$$

Теңдеудің екі жағынан 11 санын алып тастаңыз.

$$-7y=-28$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$y=4$$

x=-2y+11 теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\times 4+11$$

-2 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=-8+11$$

11 санын -8 санына қосу.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+2y=11,x-5y=-17$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2}&-\frac{2}{-5-2}\\-\frac{1}{-5-2}&\frac{1}{-5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 11+\frac{2}{7}\left(-17\right)\\\frac{1}{7}\times 11-\frac{1}{7}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+2y=11,x-5y=-17$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы x-5y=-17 мәнін x+2y=11 мәнінен алып тастаңыз.

$$x-x+2y+5y=11+17$$

x санын -x санына қосу. x және -x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2y+5y=11+17$$

2y санын 5y санына қосу.

$$7y=11+17$$

11 санын 17 санына қосу.

$$7y=28$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$y=4$$

x-5y=-17 теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x-5\times 4=-17$$

-5 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x-20=-17$$

Теңдеудің екі жағына да 20 санын қосыңыз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=4$$