{l}{x+2y=-1}{2x-3y=12} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = - 1 } \\ { 2 x - 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=-2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+2y=-1$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$x=-2y-1$$

Басқа теңдеуде -2y-1 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-3y=12.

$$2\left(-2y-1\right)-3y=12$$

2 санын -2y-1 санына көбейтіңіз.

$$-4y-2-3y=12$$

-4y санын -3y санына қосу.

$$-7y-2=12$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$-7y=14$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

x=-2y-1 теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\left(-2\right)-1$$

-2 санын -2 санына көбейтіңіз.

$$x=4-1$$

-1 санын 4 санына қосу.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=-2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 2}&-\frac{2}{-3-2\times 2}\\-\frac{2}{-3-2\times 2}&\frac{1}{-3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)+\frac{2}{7}\times 12\\\frac{2}{7}\left(-1\right)-\frac{1}{7}\times 12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=-2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$2x+2\times 2y=2\left(-1\right),2x-3y=12$$

Қысқартыңыз.

$$2x+4y=-2,2x-3y=12$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x-3y=12 мәнін 2x+4y=-2 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x+4y+3y=-2-12$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y+3y=-2-12$$

4y санын 3y санына қосу.

$$7y=-2-12$$

-2 санын -12 санына қосу.

$$7y=-14$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

2x-3y=12 теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-3\left(-2\right)=12$$

-3 санын -2 санына көбейтіңіз.

$$2x+6=12$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$2x=6$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=-2$$