{l}{a=15-2b}{2a-5b=15-2a} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { a = 15 - 2 b } \\ { 2 a - 5 b = 15 - 2 a } \end{array} \right.$$

a, b мәнін табыңыз

$$a = \frac{105}{13} = 8\frac{1}{13} \approx 8.076923077$$

$$b = \frac{45}{13} = 3\frac{6}{13} \approx 3.461538462$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 2b қосу.

$$a+2b=15$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 2a қосу.

$$2a-5b+2a=15$$

2a және 2a мәндерін қоссаңыз, 4a мәні шығады.

$$4a-5b=15$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және a мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы a мәнін шешіңіз.

$$a+2b=15$$

Теңдеудің екі жағынан 2b санын алып тастаңыз.

$$a=-2b+15$$

Басқа теңдеуде -2b+15 мәнін a мәнімен ауыстырыңыз, 4a-5b=15.

$$4\left(-2b+15\right)-5b=15$$

4 санын -2b+15 санына көбейтіңіз.

$$-8b+60-5b=15$$

-8b санын -5b санына қосу.

$$-13b+60=15$$

Теңдеудің екі жағынан 60 санын алып тастаңыз.

$$-13b=-45$$

Екі жағын да -13 санына бөліңіз.

$$b=\frac{45}{13}$$

a=-2b+15 теңдеуінде \frac{45}{13} мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$a=-2\times \frac{45}{13}+15$$

-2 санын \frac{45}{13} санына көбейтіңіз.

$$a=-\frac{90}{13}+15$$

15 санын -\frac{90}{13} санына қосу.

$$a=\frac{105}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 2b қосу.

$$a+2b=15$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 2a қосу.

$$2a-5b+2a=15$$

2a және 2a мәндерін қоссаңыз, 4a мәні шығады.

$$4a-5b=15$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2\times 4}&-\frac{2}{-5-2\times 4}\\-\frac{4}{-5-2\times 4}&\frac{1}{-5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 15+\frac{2}{13}\times 15\\\frac{4}{13}\times 15-\frac{1}{13}\times 15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105}{13}\\\frac{45}{13}\end{matrix}\right)$$

a және b матрица элементтерін шығарыңыз.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 2b қосу.

$$a+2b=15$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 2a қосу.

$$2a-5b+2a=15$$

2a және 2a мәндерін қоссаңыз, 4a мәні шығады.

$$4a-5b=15$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

a және 4a мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$4a+4\times 2b=4\times 15,4a-5b=15$$

Қысқартыңыз.

$$4a+8b=60,4a-5b=15$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 4a-5b=15 мәнін 4a+8b=60 мәнінен алып тастаңыз.

$$4a-4a+8b+5b=60-15$$

4a санын -4a санына қосу. 4a және -4a мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$8b+5b=60-15$$

8b санын 5b санына қосу.

$$13b=60-15$$

60 санын -15 санына қосу.

$$13b=45$$

Екі жағын да 13 санына бөліңіз.

$$b=\frac{45}{13}$$

4a-5b=15 теңдеуінде \frac{45}{13} мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$4a-5\times \frac{45}{13}=15$$

-5 санын \frac{45}{13} санына көбейтіңіз.

$$4a-\frac{225}{13}=15$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{225}{13} санын қосыңыз.

$$4a=\frac{420}{13}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$a=\frac{105}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$