{l}{9x-4y=11}{x+4y=19} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 11 } \\ { x + 4 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$9x-4y=11,x+4y=19$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$9x-4y=11$$

Теңдеудің екі жағына да 4y санын қосыңыз.

$$9x=4y+11$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+11\right)$$

\frac{1}{9} санын 4y+11 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{11}{9}$$

Басқа теңдеуде \frac{4y+11}{9} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+4y=19.

$$\frac{4}{9}y+\frac{11}{9}+4y=19$$

\frac{4y}{9} санын 4y санына қосу.

$$\frac{40}{9}y+\frac{11}{9}=19$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{11}{9} санын алып тастаңыз.

$$\frac{40}{9}y=\frac{160}{9}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{40}{9} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=4$$

x=\frac{4}{9}y+\frac{11}{9} теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{4}{9}\times 4+\frac{11}{9}$$

\frac{4}{9} санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{16+11}{9}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{11}{9} бөлшегіне \frac{16}{9} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$9x-4y=11,x+4y=19$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{9\times 4-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{9\times 4-\left(-4\right)}&\frac{9}{9\times 4-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{1}{40}&\frac{9}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 11+\frac{1}{10}\times 19\\-\frac{1}{40}\times 11+\frac{9}{40}\times 19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$9x-4y=11,x+4y=19$$

9x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 9 санына көбейтіңіз.

$$9x-4y=11,9x+9\times 4y=9\times 19$$

Қысқартыңыз.

$$9x-4y=11,9x+36y=171$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 9x+36y=171 мәнін 9x-4y=11 мәнінен алып тастаңыз.

$$9x-9x-4y-36y=11-171$$

9x санын -9x санына қосу. 9x және -9x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4y-36y=11-171$$

-4y санын -36y санына қосу.

$$-40y=11-171$$

11 санын -171 санына қосу.

$$-40y=-160$$

Екі жағын да -40 санына бөліңіз.

$$y=4$$

x+4y=19 теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+4\times 4=19$$

4 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x+16=19$$

Теңдеудің екі жағынан 16 санын алып тастаңыз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=4$$