{l}{8x+4y=-4}{4x-2y=8} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 4 y = - 4 } \\ { 4 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$8x+4y=-4$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$8x=-4y-4$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y-4\right)$$

\frac{1}{8} санын -4y-4 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y-1}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x-2y=8.

$$4\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)-2y=8$$

4 санын \frac{-y-1}{2} санына көбейтіңіз.

$$-2y-2-2y=8$$

-2y санын -2y санына қосу.

$$-4y-2=8$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$-4y=10$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{5}{2}$$

x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2} теңдеуінде -\frac{5}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{2}\right)-\frac{1}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{5}{2} санын -\frac{1}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{5}{4}-\frac{1}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{1}{2} бөлшегіне \frac{5}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{3}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{8\left(-2\right)-4\times 4}&-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}&\frac{8}{8\left(-2\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\left(-4\right)+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{1}{8}\left(-4\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

8x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына көбейтіңіз.

$$4\times 8x+4\times 4y=4\left(-4\right),8\times 4x+8\left(-2\right)y=8\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$32x+16y=-16,32x-16y=64$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 32x-16y=64 мәнін 32x+16y=-16 мәнінен алып тастаңыз.

$$32x-32x+16y+16y=-16-64$$

32x санын -32x санына қосу. 32x және -32x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$16y+16y=-16-64$$

16y санын 16y санына қосу.

$$32y=-16-64$$

-16 санын -64 санына қосу.

$$32y=-80$$

Екі жағын да 32 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{5}{2}$$

4x-2y=8 теңдеуінде -\frac{5}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x-2\left(-\frac{5}{2}\right)=8$$

-2 санын -\frac{5}{2} санына көбейтіңіз.

$$4x+5=8$$

Теңдеудің екі жағынан 5 санын алып тастаңыз.

$$4x=3$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{3}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$