{l}{8x+3y=5}{3x+2y=70} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{200}{7} = -28\frac{4}{7} \approx -28.571428571$$

$$y = \frac{545}{7} = 77\frac{6}{7} \approx 77.857142857$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$8x+3y=5$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$8x=-3y+5$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{8} санын -3y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+5}{8} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}\right)+2y=70$$

3 санын \frac{-3y+5}{8} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}+2y=70$$

-\frac{9y}{8} санын 2y санына қосу.

$$\frac{7}{8}y+\frac{15}{8}=70$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{15}{8} санын алып тастаңыз.

$$\frac{7}{8}y=\frac{545}{8}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{7}{8} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{545}{7}$$

x=-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8} теңдеуінде \frac{545}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{8}\times \frac{545}{7}+\frac{5}{8}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{545}{7} санын -\frac{3}{8} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{1635}{56}+\frac{5}{8}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{8} бөлшегіне -\frac{1635}{56} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{200}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{8\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{8\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{8\times 2-3\times 3}&\frac{8}{8\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 5-\frac{3}{7}\times 70\\-\frac{3}{7}\times 5+\frac{8}{7}\times 70\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{200}{7}\\\frac{545}{7}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$8x+3y=5,3x+2y=70$$

8x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына көбейтіңіз.

$$3\times 8x+3\times 3y=3\times 5,8\times 3x+8\times 2y=8\times 70$$

Қысқартыңыз.

$$24x+9y=15,24x+16y=560$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 24x+16y=560 мәнін 24x+9y=15 мәнінен алып тастаңыз.

$$24x-24x+9y-16y=15-560$$

24x санын -24x санына қосу. 24x және -24x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$9y-16y=15-560$$

9y санын -16y санына қосу.

$$-7y=15-560$$

15 санын -560 санына қосу.

$$-7y=-545$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$y=\frac{545}{7}$$

3x+2y=70 теңдеуінде \frac{545}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+2\times \frac{545}{7}=70$$

2 санын \frac{545}{7} санына көбейтіңіз.

$$3x+\frac{1090}{7}=70$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{1090}{7} санын алып тастаңыз.

$$3x=-\frac{600}{7}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{200}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}$$