{l}{7x-5y=-22}{4x+3y=5} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 5 y = - 22 } \\ { 4 x + 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-1$$

$$y=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x-5y=-22,4x+3y=5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x-5y=-22$$

Теңдеудің екі жағына да 5y санын қосыңыз.

$$7x=5y-22$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(5y-22\right)$$

\frac{1}{7} санын 5y-22 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{5}{7}y-\frac{22}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{5y-22}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+3y=5.

$$4\left(\frac{5}{7}y-\frac{22}{7}\right)+3y=5$$

4 санын \frac{5y-22}{7} санына көбейтіңіз.

$$\frac{20}{7}y-\frac{88}{7}+3y=5$$

\frac{20y}{7} санын 3y санына қосу.

$$\frac{41}{7}y-\frac{88}{7}=5$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{88}{7} санын қосыңыз.

$$\frac{41}{7}y=\frac{123}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{41}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=3$$

x=\frac{5}{7}y-\frac{22}{7} теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{5}{7}\times 3-\frac{22}{7}$$

\frac{5}{7} санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{15-22}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{22}{7} бөлшегіне \frac{15}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x-5y=-22,4x+3y=5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{7}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\\-\frac{4}{41}&\frac{7}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\left(-22\right)+\frac{5}{41}\times 5\\-\frac{4}{41}\left(-22\right)+\frac{7}{41}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-1,y=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x-5y=-22,4x+3y=5$$

7x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына көбейтіңіз.

$$4\times 7x+4\left(-5\right)y=4\left(-22\right),7\times 4x+7\times 3y=7\times 5$$

Қысқартыңыз.

$$28x-20y=-88,28x+21y=35$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 28x+21y=35 мәнін 28x-20y=-88 мәнінен алып тастаңыз.

$$28x-28x-20y-21y=-88-35$$

28x санын -28x санына қосу. 28x және -28x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-20y-21y=-88-35$$

-20y санын -21y санына қосу.

$$-41y=-88-35$$

-88 санын -35 санына қосу.

$$-41y=-123$$

Екі жағын да -41 санына бөліңіз.

$$y=3$$

4x+3y=5 теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+3\times 3=5$$

3 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$4x+9=5$$

Теңдеудің екі жағынан 9 санын алып тастаңыз.

$$4x=-4$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=3$$