{l}{7x+5y=20}{x=7quady=2} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 20 } \\ { x = 7 \quad y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{70}{27} = 2\frac{16}{27} \approx 2.592592593$$

$$y=\frac{10}{27}\approx 0.37037037$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 7y мәнін қысқартыңыз.

$$x-7y=0$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x+5y=20,x-7y=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x+5y=20$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$7x=-5y+20$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+20\right)$$

\frac{1}{7} санын -5y+20 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{20}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{-5y+20}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x-7y=0.

$$-\frac{5}{7}y+\frac{20}{7}-7y=0$$

-\frac{5y}{7} санын -7y санына қосу.

$$-\frac{54}{7}y+\frac{20}{7}=0$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{20}{7} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{20}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{54}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{10}{27}$$

x=-\frac{5}{7}y+\frac{20}{7} теңдеуінде \frac{10}{27} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{10}{27}+\frac{20}{7}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{10}{27} санын -\frac{5}{7} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{50}{189}+\frac{20}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{20}{7} бөлшегіне -\frac{50}{189} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{70}{27}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{70}{27},y=\frac{10}{27}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 7y мәнін қысқартыңыз.

$$x-7y=0$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x+5y=20,x-7y=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{7\left(-7\right)-5}&-\frac{5}{7\left(-7\right)-5}\\-\frac{1}{7\left(-7\right)-5}&\frac{7}{7\left(-7\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{54}&\frac{5}{54}\\\frac{1}{54}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{54}\times 20\\\frac{1}{54}\times 20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{27}\\\frac{10}{27}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{70}{27},y=\frac{10}{27}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 7y мәнін қысқартыңыз.

$$x-7y=0$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x+5y=20,x-7y=0$$

7x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына көбейтіңіз.

$$7x+5y=20,7x+7\left(-7\right)y=0$$

Қысқартыңыз.

$$7x+5y=20,7x-49y=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 7x-49y=0 мәнін 7x+5y=20 мәнінен алып тастаңыз.

$$7x-7x+5y+49y=20$$

7x санын -7x санына қосу. 7x және -7x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$5y+49y=20$$

5y санын 49y санына қосу.

$$54y=20$$

Екі жағын да 54 санына бөліңіз.

$$y=\frac{10}{27}$$

x-7y=0 теңдеуінде \frac{10}{27} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x-7\times \frac{10}{27}=0$$

-7 санын \frac{10}{27} санына көбейтіңіз.

$$x-\frac{70}{27}=0$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{70}{27} санын қосыңыз.

$$x=\frac{70}{27}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{70}{27},y=\frac{10}{27}$$