{l}{7x+5y=-3}{-9x+y=-11} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = - 3 } \\ { - 9 x + y = - 11 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=-2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x+5y=-3$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$7x=-5y-3$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y-3\right)$$

\frac{1}{7} санын -5y-3 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{-5y-3}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -9x+y=-11.

$$-9\left(-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}\right)+y=-11$$

-9 санын \frac{-5y-3}{7} санына көбейтіңіз.

$$\frac{45}{7}y+\frac{27}{7}+y=-11$$

\frac{45y}{7} санын y санына қосу.

$$\frac{52}{7}y+\frac{27}{7}=-11$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{27}{7} санын алып тастаңыз.

$$\frac{52}{7}y=-\frac{104}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{52}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-2$$

x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7} теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{7}\left(-2\right)-\frac{3}{7}$$

-\frac{5}{7} санын -2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{10-3}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{3}{7} бөлшегіне \frac{10}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=-2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-5\left(-9\right)}&-\frac{5}{7-5\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{7-5\left(-9\right)}&\frac{7}{7-5\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}&-\frac{5}{52}\\\frac{9}{52}&\frac{7}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}\left(-3\right)-\frac{5}{52}\left(-11\right)\\\frac{9}{52}\left(-3\right)+\frac{7}{52}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=-2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

7x және -9x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -9 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына көбейтіңіз.

$$-9\times 7x-9\times 5y=-9\left(-3\right),7\left(-9\right)x+7y=7\left(-11\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-63x-45y=27,-63x+7y=-77$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -63x+7y=-77 мәнін -63x-45y=27 мәнінен алып тастаңыз.

$$-63x+63x-45y-7y=27+77$$

-63x санын 63x санына қосу. -63x және 63x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-45y-7y=27+77$$

-45y санын -7y санына қосу.

$$-52y=27+77$$

27 санын 77 санына қосу.

$$-52y=104$$

Екі жағын да -52 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

-9x+y=-11 теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-9x-2=-11$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$-9x=-9$$

Екі жағын да -9 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=-2$$