{l}{6x-7y=-2}{5x-4y=-11} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 7 y = - 2 } \\ { 5 x - 4 y = - 11 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{69}{11} = -6\frac{3}{11} \approx -6.272727273$$

$$y = -\frac{56}{11} = -5\frac{1}{11} \approx -5.090909091$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$6x-7y=-2,5x-4y=-11$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$6x-7y=-2$$

Теңдеудің екі жағына да 7y санын қосыңыз.

$$6x=7y-2$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{6}\left(7y-2\right)$$

\frac{1}{6} санын 7y-2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{7}{6}y-\frac{1}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{7y}{6}-\frac{1}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x-4y=-11.

$$5\left(\frac{7}{6}y-\frac{1}{3}\right)-4y=-11$$

5 санын \frac{7y}{6}-\frac{1}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{35}{6}y-\frac{5}{3}-4y=-11$$

\frac{35y}{6} санын -4y санына қосу.

$$\frac{11}{6}y-\frac{5}{3}=-11$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{5}{3} санын қосыңыз.

$$\frac{11}{6}y=-\frac{28}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{11}{6} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{56}{11}$$

x=\frac{7}{6}y-\frac{1}{3} теңдеуінде -\frac{56}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{7}{6}\left(-\frac{56}{11}\right)-\frac{1}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{56}{11} санын \frac{7}{6} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{196}{33}-\frac{1}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{1}{3} бөлшегіне -\frac{196}{33} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{69}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{69}{11},y=-\frac{56}{11}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$6x-7y=-2,5x-4y=-11$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6&-7\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-11\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6&-7\\5&-4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-7\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-11\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-11\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{6\left(-4\right)-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{6\left(-4\right)-\left(-7\times 5\right)}&\frac{6}{6\left(-4\right)-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{7}{11}\\-\frac{5}{11}&\frac{6}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\left(-2\right)+\frac{7}{11}\left(-11\right)\\-\frac{5}{11}\left(-2\right)+\frac{6}{11}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{69}{11}\\-\frac{56}{11}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{69}{11},y=-\frac{56}{11}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$6x-7y=-2,5x-4y=-11$$

6x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына көбейтіңіз.

$$5\times 6x+5\left(-7\right)y=5\left(-2\right),6\times 5x+6\left(-4\right)y=6\left(-11\right)$$

Қысқартыңыз.

$$30x-35y=-10,30x-24y=-66$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 30x-24y=-66 мәнін 30x-35y=-10 мәнінен алып тастаңыз.

$$30x-30x-35y+24y=-10+66$$

30x санын -30x санына қосу. 30x және -30x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-35y+24y=-10+66$$

-35y санын 24y санына қосу.

$$-11y=-10+66$$

-10 санын 66 санына қосу.

$$-11y=56$$

Екі жағын да -11 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{56}{11}$$

5x-4y=-11 теңдеуінде -\frac{56}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x-4\left(-\frac{56}{11}\right)=-11$$

-4 санын -\frac{56}{11} санына көбейтіңіз.

$$5x+\frac{224}{11}=-11$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{224}{11} санын алып тастаңыз.

$$5x=-\frac{345}{11}$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{69}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{69}{11},y=-\frac{56}{11}$$