{l}{6x=7y+4}{2x-14y+1=0} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x = 7 y + 4 } \\ { 2 x - 14 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{9}{10}=0.9$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 7y мәнін қысқартыңыз.

$$6x-7y=4$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 1 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$2x-14y=-1$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$6x-7y=4$$

Теңдеудің екі жағына да 7y санын қосыңыз.

$$6x=7y+4$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{6}\left(7y+4\right)$$

\frac{1}{6} санын 7y+4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{7y}{6}+\frac{2}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-14y=-1.

$$2\left(\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}\right)-14y=-1$$

2 санын \frac{7y}{6}+\frac{2}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{7}{3}y+\frac{4}{3}-14y=-1$$

\frac{7y}{3} санын -14y санына қосу.

$$-\frac{35}{3}y+\frac{4}{3}=-1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{4}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{35}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{35}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{1}{5}$$

x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3} теңдеуінде \frac{1}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{7}{6}\times \frac{1}{5}+\frac{2}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{1}{5} санын \frac{7}{6} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{7}{30}+\frac{2}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{2}{3} бөлшегіне \frac{7}{30} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{9}{10}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 7y мәнін қысқартыңыз.

$$6x-7y=4$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 1 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$2x-14y=-1$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&\frac{6}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{35}&-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4-\frac{1}{10}\left(-1\right)\\\frac{1}{35}\times 4-\frac{3}{35}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 7y мәнін қысқартыңыз.

$$6x-7y=4$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 1 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$2x-14y=-1$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

6x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына көбейтіңіз.

$$2\times 6x+2\left(-7\right)y=2\times 4,6\times 2x+6\left(-14\right)y=6\left(-1\right)$$

Қысқартыңыз.

$$12x-14y=8,12x-84y=-6$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x-84y=-6 мәнін 12x-14y=8 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x-14y+84y=8+6$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-14y+84y=8+6$$

-14y санын 84y санына қосу.

$$70y=8+6$$

8 санын 6 санына қосу.

$$70y=14$$

Екі жағын да 70 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{5}$$

2x-14y=-1 теңдеуінде \frac{1}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-14\times \frac{1}{5}=-1$$

-14 санын \frac{1}{5} санына көбейтіңіз.

$$2x-\frac{14}{5}=-1$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{14}{5} санын қосыңыз.

$$2x=\frac{9}{5}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{9}{10}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$