{l}{5y=-13-4x}{3x+6y=13} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y = - 13 - 4 x } \\ { 3 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x = -\frac{143}{9} = -15\frac{8}{9} \approx -15.888888889$$

$$y = \frac{91}{9} = 10\frac{1}{9} \approx 10.111111111$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 4x қосу.

$$5y+4x=-13$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$5y+4x=-13$$

Теңдеудің екі жағынан 4x санын алып тастаңыз.

$$5y=-4x-13$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{5}\left(-4x-13\right)$$

\frac{1}{5} санын -4x-13 санына көбейтіңіз.

$$y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-4x-13}{5} мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 6y+3x=13.

$$6\left(-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}\right)+3x=13$$

6 санын \frac{-4x-13}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{24}{5}x-\frac{78}{5}+3x=13$$

-\frac{24x}{5} санын 3x санына қосу.

$$-\frac{9}{5}x-\frac{78}{5}=13$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{78}{5} санын қосыңыз.

$$-\frac{9}{5}x=\frac{143}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{9}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=-\frac{143}{9}$$

y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5} теңдеуінде -\frac{143}{9} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{143}{9}\right)-\frac{13}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{143}{9} санын -\frac{4}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=\frac{572}{45}-\frac{13}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{13}{5} бөлшегіне \frac{572}{45} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=\frac{91}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 4x қосу.

$$5y+4x=-13$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-13\right)+\frac{4}{9}\times 13\\\frac{2}{3}\left(-13\right)-\frac{5}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{9}\\-\frac{143}{9}\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 4x қосу.

$$5y+4x=-13$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

5y және 6y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$6\times 5y+6\times 4x=6\left(-13\right),5\times 6y+5\times 3x=5\times 13$$

Қысқартыңыз.

$$30y+24x=-78,30y+15x=65$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 30y+15x=65 мәнін 30y+24x=-78 мәнінен алып тастаңыз.

$$30y-30y+24x-15x=-78-65$$

30y санын -30y санына қосу. 30y және -30y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$24x-15x=-78-65$$

24x санын -15x санына қосу.

$$9x=-78-65$$

-78 санын -65 санына қосу.

$$9x=-143$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{143}{9}$$

6y+3x=13 теңдеуінде -\frac{143}{9} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$6y+3\left(-\frac{143}{9}\right)=13$$

3 санын -\frac{143}{9} санына көбейтіңіз.

$$6y-\frac{143}{3}=13$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{143}{3} санын қосыңыз.

$$6y=\frac{182}{3}$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$y=\frac{91}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$