{l}{5x-14=3y}{7(3x-2y)=35} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 14 = 3 y } \\ { 7 ( 3 x - 2 y ) = 35 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=13$$

$$y=17$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 3y мәнін қысқартыңыз.

$$5x-14-3y=0$$

Екі жағына 14 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$5x-3y=14$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

5 нәтижесін алу үшін, 35 мәнін 7 мәніне бөліңіз.

$$3x-2y=5$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-3y=14$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$5x=3y+14$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+14\right)$$

\frac{1}{5} санын 3y+14 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y+14}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-2y=5.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}\right)-2y=5$$

3 санын \frac{3y+14}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{9}{5}y+\frac{42}{5}-2y=5$$

\frac{9y}{5} санын -2y санына қосу.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{42}{5}=5$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{42}{5} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{1}{5}y=-\frac{17}{5}$$

Екі жағын да -5 мәніне көбейтіңіз.

$$y=17$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{14}{5} теңдеуінде 17 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{5}\times 17+\frac{14}{5}$$

\frac{3}{5} санын 17 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{51+14}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{14}{5} бөлшегіне \frac{51}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=13$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=13,y=17$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 3y мәнін қысқартыңыз.

$$5x-14-3y=0$$

Екі жағына 14 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$5x-3y=14$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

5 нәтижесін алу үшін, 35 мәнін 7 мәніне бөліңіз.

$$3x-2y=5$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 14-3\times 5\\3\times 14-5\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=13,y=17$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 3y мәнін қысқартыңыз.

$$5x-14-3y=0$$

Екі жағына 14 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$5x-3y=14$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

5 нәтижесін алу үшін, 35 мәнін 7 мәніне бөліңіз.

$$3x-2y=5$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

5x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 5$$

Қысқартыңыз.

$$15x-9y=42,15x-10y=25$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15x-10y=25 мәнін 15x-9y=42 мәнінен алып тастаңыз.

$$15x-15x-9y+10y=42-25$$

15x санын -15x санына қосу. 15x және -15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-9y+10y=42-25$$

-9y санын 10y санына қосу.

$$y=42-25$$

42 санын -25 санына қосу.

$$y=17$$

3x-2y=5 теңдеуінде 17 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-2\times 17=5$$

-2 санын 17 санына көбейтіңіз.

$$3x-34=5$$

Теңдеудің екі жағына да 34 санын қосыңыз.

$$3x=39$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=13$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=13,y=17$$