{l}{5x+5y=14}{2x+4y=10} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+5y=14$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$5x=-5y+14$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+14\right)$$

\frac{1}{5} санын -5y+14 санына көбейтіңіз.

$$x=-y+\frac{14}{5}$$

Басқа теңдеуде -y+\frac{14}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+4y=10.

$$2\left(-y+\frac{14}{5}\right)+4y=10$$

2 санын -y+\frac{14}{5} санына көбейтіңіз.

$$-2y+\frac{28}{5}+4y=10$$

-2y санын 4y санына қосу.

$$2y+\frac{28}{5}=10$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{28}{5} санын алып тастаңыз.

$$2y=\frac{22}{5}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=\frac{11}{5}$$

x=-y+\frac{14}{5} теңдеуінде \frac{11}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{11}{5}+\frac{14}{5}$$

-1 санын \frac{11}{5} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-11+14}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{14}{5} бөлшегіне -\frac{11}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{3}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-5\times 2}&-\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\\-\frac{2}{5\times 4-5\times 2}&\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 14-\frac{1}{2}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

5x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$2\times 5x+2\times 5y=2\times 14,5\times 2x+5\times 4y=5\times 10$$

Қысқартыңыз.

$$10x+10y=28,10x+20y=50$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x+20y=50 мәнін 10x+10y=28 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x+10y-20y=28-50$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$10y-20y=28-50$$

10y санын -20y санына қосу.

$$-10y=28-50$$

28 санын -50 санына қосу.

$$-10y=-22$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$y=\frac{11}{5}$$

2x+4y=10 теңдеуінде \frac{11}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+4\times \frac{11}{5}=10$$

4 санын \frac{11}{5} санына көбейтіңіз.

$$2x+\frac{44}{5}=10$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{44}{5} санын алып тастаңыз.

$$2x=\frac{6}{5}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{3}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$