{l}{5x+3y=450.000}{3x+4y=413.000} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 450.000 } \\ { 3 x + 4 y = 413.000 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=51$$

$$y=65$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+3y=450$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$5x=-3y+450$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+450\right)$$

\frac{1}{5} санын -3y+450 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{5}y+90$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{5}+90 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+4y=413.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+90\right)+4y=413$$

3 санын -\frac{3y}{5}+90 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{9}{5}y+270+4y=413$$

-\frac{9y}{5} санын 4y санына қосу.

$$\frac{11}{5}y+270=413$$

Теңдеудің екі жағынан 270 санын алып тастаңыз.

$$\frac{11}{5}y=143$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{11}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=65$$

x=-\frac{3}{5}y+90 теңдеуінде 65 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{5}\times 65+90$$

-\frac{3}{5} санын 65 санына көбейтіңіз.

$$x=-39+90$$

90 санын -39 санына қосу.

$$x=51$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=51,y=65$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 450-\frac{3}{11}\times 413\\-\frac{3}{11}\times 450+\frac{5}{11}\times 413\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}51\\65\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=51,y=65$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

5x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 450,5\times 3x+5\times 4y=5\times 413$$

Қысқартыңыз.

$$15x+9y=1350,15x+20y=2065$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15x+20y=2065 мәнін 15x+9y=1350 мәнінен алып тастаңыз.

$$15x-15x+9y-20y=1350-2065$$

15x санын -15x санына қосу. 15x және -15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$9y-20y=1350-2065$$

9y санын -20y санына қосу.

$$-11y=1350-2065$$

1350 санын -2065 санына қосу.

$$-11y=-715$$

Екі жағын да -11 санына бөліңіз.

$$y=65$$

3x+4y=413 теңдеуінде 65 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+4\times 65=413$$

4 санын 65 санына көбейтіңіз.

$$3x+260=413$$

Теңдеудің екі жағынан 260 санын алып тастаңыз.

$$3x=153$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=51$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=51,y=65$$