{l}{5x+2y=6}{9x+2y=22} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 6 } \\ { 9 x + 2 y = 22 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=4$$

$$y=-7$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+2y=6$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$5x=-2y+6$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+6\right)$$

\frac{1}{5} санын -2y+6 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+6}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 9x+2y=22.

$$9\left(-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}\right)+2y=22$$

9 санын \frac{-2y+6}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{18}{5}y+\frac{54}{5}+2y=22$$

-\frac{18y}{5} санын 2y санына қосу.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{54}{5}=22$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{54}{5} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{8}{5}y=\frac{56}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{8}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-7$$

x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5} теңдеуінде -7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-7\right)+\frac{6}{5}$$

-\frac{2}{5} санын -7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{14+6}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{6}{5} бөлшегіне \frac{14}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=-7$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-2\times 9}&-\frac{2}{5\times 2-2\times 9}\\-\frac{9}{5\times 2-2\times 9}&\frac{5}{5\times 2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{9}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\times 22\\\frac{9}{8}\times 6-\frac{5}{8}\times 22\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-7\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=4,y=-7$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 9x+2y=22 мәнін 5x+2y=6 мәнінен алып тастаңыз.

$$5x-9x+2y-2y=6-22$$

2y санын -2y санына қосу. 2y және -2y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$5x-9x=6-22$$

5x санын -9x санына қосу.

$$-4x=6-22$$

6 санын -22 санына қосу.

$$-4x=-16$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=4$$

9x+2y=22 теңдеуінде 4 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$9\times 4+2y=22$$

9 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$36+2y=22$$

Теңдеудің екі жағынан 36 санын алып тастаңыз.

$$2y=-14$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=-7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=-7$$