{l}{5x+2y=34}{7x-3y=7} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 34 } \\ { 7 x - 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=4$$

$$y=7$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+2y=34$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$5x=-2y+34$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+34\right)$$

\frac{1}{5} санын -2y+34 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+34}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 7x-3y=7.

$$7\left(-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}\right)-3y=7$$

7 санын \frac{-2y+34}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{14}{5}y+\frac{238}{5}-3y=7$$

-\frac{14y}{5} санын -3y санына қосу.

$$-\frac{29}{5}y+\frac{238}{5}=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{238}{5} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{29}{5}y=-\frac{203}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{29}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=7$$

x=-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5} теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{5}\times 7+\frac{34}{5}$$

-\frac{2}{5} санын 7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-14+34}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{34}{5} бөлшегіне -\frac{14}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=7$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2\times 7}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 7}\\-\frac{7}{5\left(-3\right)-2\times 7}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\times 34+\frac{2}{29}\times 7\\\frac{7}{29}\times 34-\frac{5}{29}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=4,y=7$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

5x және 7x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$7\times 5x+7\times 2y=7\times 34,5\times 7x+5\left(-3\right)y=5\times 7$$

Қысқартыңыз.

$$35x+14y=238,35x-15y=35$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 35x-15y=35 мәнін 35x+14y=238 мәнінен алып тастаңыз.

$$35x-35x+14y+15y=238-35$$

35x санын -35x санына қосу. 35x және -35x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$14y+15y=238-35$$

14y санын 15y санына қосу.

$$29y=238-35$$

238 санын -35 санына қосу.

$$29y=203$$

Екі жағын да 29 санына бөліңіз.

$$y=7$$

7x-3y=7 теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$7x-3\times 7=7$$

-3 санын 7 санына көбейтіңіз.

$$7x-21=7$$

Теңдеудің екі жағына да 21 санын қосыңыз.

$$7x=28$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=7$$