{l}{5x+2y=12}{2x-3y=7} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 12 } \\ { 2 x - 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{50}{19} = 2\frac{12}{19} \approx 2.631578947$$

$$y=-\frac{11}{19}\approx -0.578947368$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+2y=12,2x-3y=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+2y=12$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$5x=-2y+12$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+12\right)$$

\frac{1}{5} санын -2y+12 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+12}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-3y=7.

$$2\left(-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}\right)-3y=7$$

2 санын \frac{-2y+12}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{24}{5}-3y=7$$

-\frac{4y}{5} санын -3y санына қосу.

$$-\frac{19}{5}y+\frac{24}{5}=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{24}{5} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{19}{5}y=\frac{11}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{19}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{11}{19}$$

x=-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5} теңдеуінде -\frac{11}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{11}{19}\right)+\frac{12}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{11}{19} санын -\frac{2}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{22}{95}+\frac{12}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{12}{5} бөлшегіне \frac{22}{95} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{50}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{50}{19},y=-\frac{11}{19}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+2y=12,2x-3y=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2\times 2}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 2}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\\frac{2}{19}&-\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 12+\frac{2}{19}\times 7\\\frac{2}{19}\times 12-\frac{5}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{19}\\-\frac{11}{19}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{50}{19},y=-\frac{11}{19}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+2y=12,2x-3y=7$$

5x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\times 12,5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 7$$

Қысқартыңыз.

$$10x+4y=24,10x-15y=35$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x-15y=35 мәнін 10x+4y=24 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x+4y+15y=24-35$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y+15y=24-35$$

4y санын 15y санына қосу.

$$19y=24-35$$

24 санын -35 санына қосу.

$$19y=-11$$

Екі жағын да 19 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{11}{19}$$

2x-3y=7 теңдеуінде -\frac{11}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-3\left(-\frac{11}{19}\right)=7$$

-3 санын -\frac{11}{19} санына көбейтіңіз.

$$2x+\frac{33}{19}=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{33}{19} санын алып тастаңыз.

$$2x=\frac{100}{19}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{50}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{50}{19},y=-\frac{11}{19}$$