{l}{4x=9-3y}{5y=12-5x} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 9 - 3 y } \\ { 5 y = 12 - 5 x } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 3y қосу.

$$4x+3y=9$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 5x қосу.

$$5y+5x=12$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+3y=9$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$4x=-3y+9$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+9\right)$$

\frac{1}{4} санын -3y+9 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+9}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x+5y=12.

$$5\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)+5y=12$$

5 санын \frac{-3y+9}{4} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{45}{4}+5y=12$$

-\frac{15y}{4} санын 5y санына қосу.

$$\frac{5}{4}y+\frac{45}{4}=12$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{45}{4} санын алып тастаңыз.

$$\frac{5}{4}y=\frac{3}{4}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{5}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{3}{5}$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4} теңдеуінде \frac{3}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}+\frac{9}{4}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{3}{5} санын -\frac{3}{4} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{9}{20}+\frac{9}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{9}{4} бөлшегіне -\frac{9}{20} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{9}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 3y қосу.

$$4x+3y=9$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 5x қосу.

$$5y+5x=12$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 5}\\-\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&\frac{4}{4\times 5-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{5}\\-1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9-\frac{3}{5}\times 12\\-9+\frac{4}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 3y қосу.

$$4x+3y=9$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 5x қосу.

$$5y+5x=12$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

4x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$5\times 4x+5\times 3y=5\times 9,4\times 5x+4\times 5y=4\times 12$$

Қысқартыңыз.

$$20x+15y=45,20x+20y=48$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 20x+20y=48 мәнін 20x+15y=45 мәнінен алып тастаңыз.

$$20x-20x+15y-20y=45-48$$

20x санын -20x санына қосу. 20x және -20x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$15y-20y=45-48$$

15y санын -20y санына қосу.

$$-5y=45-48$$

45 санын -48 санына қосу.

$$-5y=-3$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$y=\frac{3}{5}$$

5x+5y=12 теңдеуінде \frac{3}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x+5\times \frac{3}{5}=12$$

5 санын \frac{3}{5} санына көбейтіңіз.

$$5x+3=12$$

Теңдеудің екі жағынан 3 санын алып тастаңыз.

$$5x=9$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{9}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$