{l}{4x+y=-7}{2x+6y=-11} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = - 7 } \\ { 2 x + 6 y = - 11 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{31}{22} = -1\frac{9}{22} \approx -1.409090909$$

$$y = -\frac{15}{11} = -1\frac{4}{11} \approx -1.363636364$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+y=-7$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$4x=-y-7$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-7\right)$$

\frac{1}{4} санын -y-7 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y-7}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+6y=-11.

$$2\left(-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}\right)+6y=-11$$

2 санын \frac{-y-7}{4} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{7}{2}+6y=-11$$

-\frac{y}{2} санын 6y санына қосу.

$$\frac{11}{2}y-\frac{7}{2}=-11$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{7}{2} санын қосыңыз.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{15}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{11}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{15}{11}$$

x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4} теңдеуінде -\frac{15}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-\frac{15}{11}\right)-\frac{7}{4}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{15}{11} санын -\frac{1}{4} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{15}{44}-\frac{7}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{7}{4} бөлшегіне \frac{15}{44} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{31}{22}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-2}&-\frac{1}{4\times 6-2}\\-\frac{2}{4\times 6-2}&\frac{4}{4\times 6-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\left(-7\right)-\frac{1}{22}\left(-11\right)\\-\frac{1}{11}\left(-7\right)+\frac{2}{11}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{22}\\-\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

4x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$2\times 4x+2y=2\left(-7\right),4\times 2x+4\times 6y=4\left(-11\right)$$

Қысқартыңыз.

$$8x+2y=-14,8x+24y=-44$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8x+24y=-44 мәнін 8x+2y=-14 мәнінен алып тастаңыз.

$$8x-8x+2y-24y=-14+44$$

8x санын -8x санына қосу. 8x және -8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2y-24y=-14+44$$

2y санын -24y санына қосу.

$$-22y=-14+44$$

-14 санын 44 санына қосу.

$$-22y=30$$

Екі жағын да -22 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{15}{11}$$

2x+6y=-11 теңдеуінде -\frac{15}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+6\left(-\frac{15}{11}\right)=-11$$

6 санын -\frac{15}{11} санына көбейтіңіз.

$$2x-\frac{90}{11}=-11$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{90}{11} санын қосыңыз.

$$2x=-\frac{31}{11}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{31}{22}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$